1. নীচের দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের প্রকৃতি লিখি—
(i) $2x^2 + 7x + 3 = 0$এখানে $a = 2, b = 7, c = 3$
নিরূপক (Discriminant, $D$) = $b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3$
$D = 49 - 24 = 25$
যেহেতু নিরূপক $D > 0$, তাই বীজদ্বয় বাস্তব ও অসমান।
উত্তর: বাস্তব ও অসমান।
এখানে $a = 3, b = -2\sqrt{6}, c = 2$
নিরূপক ($D$) = $(-2\sqrt{6})^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = (4 \times 6) - 24$
$D = 24 - 24 = 0$
যেহেতু নিরূপক $D = 0$, তাই বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান।
উত্তর: বাস্তব ও সমান।
এখানে $a = 2, b = -7, c = 9$
নিরূপক ($D$) = $(-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 49 - 72$
$D = -23$
যেহেতু নিরূপক $D < 0$, তাই কোনো বাস্তব বীজ নেই।
উত্তর: কোনো বাস্তব বীজ নেই।
এখানে $\displaystyle a = \frac{2}{5}, b = -\frac{2}{3}, c = 1$
নিরূপক ($D$) = $\displaystyle \left(-\frac{2}{3}\right)^2 - 4 \cdot \frac{2}{5} \cdot 1$
$D = \displaystyle \frac{4}{9} - \frac{8}{5} = \frac{20 - 72}{45} = -\frac{52}{45}$
যেহেতু নিরূপক $D < 0$, তাই কোনো বাস্তব বীজ নেই।
উত্তর: কোনো বাস্তব বীজ নেই।
2. k-এর কোন মান/মানগুলির জন্য নীচের প্রতিটি দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব ও সমান বীজ থাকবে হিসাব করে লিখি—
(নোট: বীজ বাস্তব ও সমান হওয়ার শর্ত হলো নিরূপক $b^2 - 4ac = 0$ হওয়া।)
(i) $49x^2 + kx + 1 = 0$শর্তানুসারে, $k^2 - 4 \cdot 49 \cdot 1 = 0$
$\implies k^2 - 196 = 0 \implies k^2 = 196$
$\implies k = \pm\sqrt{196} \implies k = \pm 14$
উত্তর: $k = 14$ বা $-14$
শর্তানুসারে, $(-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2k = 0$
$\implies 25 - 24k = 0 \implies 24k = 25$
$\implies \displaystyle k = \frac{25}{24}$
উত্তর: $\displaystyle k = \frac{25}{24}$
শর্তানুসারে, $(-24)^2 - 4 \cdot 9 \cdot k = 0$
$\implies 576 - 36k = 0 \implies 36k = 576$
$\implies \displaystyle k = \frac{576}{36} = 16$
উত্তর: $k = 16$
শর্তানুসারে, $3^2 - 4 \cdot 2 \cdot k = 0$
$\implies 9 - 8k = 0 \implies 8k = 9$
$\implies \displaystyle k = \frac{9}{8}$
উত্তর: $\displaystyle k = \frac{9}{8}$
শর্তানুসারে, $[-2(5 + 2k)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3(7 + 10k) = 0$
$\implies 4(25 + 20k + 4k^2) - 12(7 + 10k) = 0$
উভয়পক্ষকে 4 দিয়ে ভাগ করে পাই:
$\implies 25 + 20k + 4k^2 - 3(7 + 10k) = 0$
$\implies 25 + 20k + 4k^2 - 21 - 30k = 0$
$\implies 4k^2 - 10k + 4 = 0$
উভয়পক্ষকে 2 দিয়ে ভাগ করে পাই: $2k^2 - 5k + 2 = 0$
$\implies 2k^2 - 4k - k + 2 = 0 \implies 2k(k - 2) - 1(k - 2) = 0$
$\implies (k - 2)(2k - 1) = 0$
হয় $k = 2$, অথবা $2k - 1 = 0 \implies \displaystyle k = \frac{1}{2}$
উত্তর: $\displaystyle k = 2$ বা $\displaystyle \frac{1}{2}$
শর্তানুসারে, $[2(k + 1)]^2 - 4(3k + 1)k = 0$
$\implies 4(k^2 + 2k + 1) - 4k(3k + 1) = 0$
উভয়পক্ষকে 4 দিয়ে ভাগ করে পাই:
$\implies k^2 + 2k + 1 - (3k^2 + k) = 0$
$\implies k^2 + 2k + 1 - 3k^2 - k = 0$
$\implies -2k^2 + k + 1 = 0$
উভয়পক্ষকে (-1) দিয়ে গুণ করে পাই: $2k^2 - k - 1 = 0$
$\implies 2k^2 - 2k + k - 1 = 0 \implies 2k(k - 1) + 1(k - 1) = 0$
$\implies (k - 1)(2k + 1) = 0$
হয় $k = 1$, অথবা $2k + 1 = 0 \implies \displaystyle k = -\frac{1}{2}$
উত্তর: $k = 1$ বা $\displaystyle -\frac{1}{2}$
3. নীচে প্রদত্ত বীজদ্বয় দ্বারা দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি—
(নোট: $\alpha$ ও $\beta$ বীজ হলে সমীকরণটি হয়: $x^2 - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta = 0$)
(i) 4, 2বীজদ্বয়ের সমষ্টি = $4 + 2 = 6$
বীজদ্বয়ের গুণফল = $4 \times 2 = 8$
নির্ণেয় সমীকরণ: $x^2 - 6x + 8 = 0$
বীজদ্বয়ের সমষ্টি = $(-4) + (-3) = -7$
বীজদ্বয়ের গুণফল = $(-4) \times (-3) = 12$
নির্ণেয় সমীকরণ: $x^2 - (-7)x + 12 = 0 \implies x^2 + 7x + 12 = 0$
বীজদ্বয়ের সমষ্টি = $(-4) + 3 = -1$
বীজদ্বয়ের গুণফল = $(-4) \times 3 = -12$
নির্ণেয় সমীকরণ: $x^2 - (-1)x + (-12) = 0 \implies x^2 + x - 12 = 0$
বীজদ্বয়ের সমষ্টি = $5 + (-3) = 2$
বীজদ্বয়ের গুণফল = $5 \times (-3) = -15$
নির্ণেয় সমীকরণ: $x^2 - 2x - 15 = 0$
4. m-এর মান কত হলে, $4x^2 + 4(3m - 1)x + (m + 7) = 0$ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ দুটি পরস্পর অন্যোন্যক হবে।
যেহেতু সমীকরণটির বীজ দুটি পরস্পর অন্যোন্যক, ধরি একটি বীজ $\alpha$ এবং অপর বীজটি $\displaystyle \frac{1}{\alpha}$।
আমরা জানি, বীজদ্বয়ের গুণফল = $\displaystyle \frac{\text{ধ্রুবক পদ}}{x^2 \text{-এর সহগ}}$
$\therefore \displaystyle \alpha \times \frac{1}{\alpha} = \frac{m + 7}{4}$
$\implies \displaystyle 1 = \frac{m + 7}{4}$
$\implies 4 = m + 7 \implies m = 4 - 7 \implies m = -3$
m-এর মান -3 হলে বীজ দুটি অন্যোন্যক হবে।
5. $(b - c)x^2 + (c - a)x + (a - b) = 0$ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, প্রমাণ করি যে, $2b = a + c$
যেহেতু বীজদ্বয় সমান, তাই নিরূপক = 0 হবে।
$\implies (c - a)^2 - 4(b - c)(a - b) = 0$
$\implies (c^2 - 2ac + a^2) - 4(ab - b^2 - ac + bc) = 0$
$\implies c^2 - 2ac + a^2 - 4ab + 4b^2 + 4ac - 4bc = 0$
$\implies a^2 + 4b^2 + c^2 - 4ab - 4bc + 2ac = 0$
এটি একটি পূর্ণবর্গ রাশির সূত্র, এটিকে সাজিয়ে লিখলে পাই:
$\implies (a)^2 + (-2b)^2 + (c)^2 + 2(a)(-2b) + 2(-2b)(c) + 2(a)(c) = 0$
আমরা জানি, $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx$
$\implies (a - 2b + c)^2 = 0$
$\implies a - 2b + c = 0 \implies a + c = 2b$
$\therefore 2b = a + c$ (প্রমাণিত)
6. $(a^2 + b^2)x^2 - 2(ac + bd)x + (c^2 + d^2) = 0$ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, প্রমাণ করি যে, $\displaystyle\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$
যেহেতু বীজদ্বয় সমান, তাই নিরূপক = 0।
$\implies [-2(ac + bd)]^2 - 4(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = 0$
$\implies 4(ac + bd)^2 - 4(a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2) = 0$
উভয়পক্ষকে 4 দিয়ে ভাগ করে পাই:
$\implies (a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2) - (a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2) = 0$
$\implies a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2 - a^2c^2 - a^2d^2 - b^2c^2 - b^2d^2 = 0$
$\implies 2abcd - a^2d^2 - b^2c^2 = 0$
উভয়পক্ষকে (-1) দ্বারা গুণ করে পাই:
$\implies a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2 = 0$
$\implies (ad)^2 - 2(ad)(bc) + (bc)^2 = 0$
$\implies (ad - bc)^2 = 0 \implies ad - bc = 0$
$\implies ad = bc \implies \displaystyle \frac{a}{b} = \frac{c}{d}$
(প্রমাণিত)
7. প্রমাণ করি যে, $2(a^2 + b^2)x^2 + 2(a + b)x + 1 = 0$ দ্বিঘাত সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ থাকবে না, যদি $a \neq b$ হয়।
প্রদত্ত সমীকরণের নিরূপক ($D$) নির্ণয় করি:
$D = [2(a + b)]^2 - 4 \cdot 2(a^2 + b^2) \cdot 1$
$D = 4(a + b)^2 - 8(a^2 + b^2)$
$D = 4(a^2 + 2ab + b^2) - 8a^2 - 8b^2$
$D = 4a^2 + 8ab + 4b^2 - 8a^2 - 8b^2$
$D = -4a^2 + 8ab - 4b^2$
$D = -4(a^2 - 2ab + b^2)$
$D = -4(a - b)^2$
যেহেতু $a \neq b$, তাই $(a - b)$ শূন্য নয় এবং যেকোনো বাস্তব সংখ্যার বর্গ সর্বদা ধনাত্মক হয়। অর্থাৎ $(a - b)^2 > 0$।
সুতরাং, $-4(a - b)^2$ রাশিটি সর্বদা ঋণাত্মক হবে (অর্থাৎ $D < 0$)।
যেহেতু নিরূপক ঋণাত্মক, তাই সমীকরণটির কোনো বাস্তব বীজ থাকবে না। (প্রমাণিত)
8. $5x^2 + 2x - 3 = 0$ দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ $\alpha$ ও $\beta$ হলে, মান নির্ণয় করি:
প্রদত্ত সমীকরণ: $5x^2 + 2x - 3 = 0$
যেহেতু বীজ দুটি $\alpha$ এবং $\beta$, আমরা জানি:
বীজদ্বয়ের সমষ্টি: $\displaystyle \alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\frac{2}{5}$
বীজদ্বয়ের গুণফল: $\displaystyle \alpha\beta = \frac{c}{a} = -\frac{3}{5}$
$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$
$\displaystyle = \left(-\frac{2}{5}\right)^2 - 2\left(-\frac{3}{5}\right) = \frac{4}{25} + \frac{6}{5}$
$\displaystyle = \frac{4 + 30}{25} = \frac{34}{25}$
উত্তর: $\displaystyle \frac{34}{25}$
$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$
$\displaystyle = \left(-\frac{2}{5}\right)^3 - 3\left(-\frac{3}{5}\right)\left(-\frac{2}{5}\right) = -\frac{8}{125} - \frac{18}{25}$
$\displaystyle = \frac{-8 - 90}{125} = -\frac{98}{125}$
উত্তর: $\displaystyle -\frac{98}{125}$
$\displaystyle \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\beta + \alpha}{\alpha\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta}$
$\displaystyle = \frac{-\frac{2}{5}}{-\frac{3}{5}} = \frac{2}{5} \times \frac{5}{3} = \frac{2}{3}$
উত্তর: $\displaystyle \frac{2}{3}$
$\displaystyle \frac{\alpha^2}{\beta} + \frac{\beta^2}{\alpha} = \frac{\alpha^3 + \beta^3}{\alpha\beta}$
আগেই (ii) থেকে পেয়েছি, $\displaystyle \alpha^3 + \beta^3 = -\frac{98}{125}$
$\therefore \displaystyle \frac{-\frac{98}{125}}{-\frac{3}{5}} = \frac{98}{125} \times \frac{5}{3} = \frac{98}{25 \times 3} = \frac{98}{75}$
উত্তর: $\displaystyle \frac{98}{75}$
9. $ax^2 + bx + c = 0$ সমীকরণটির একটি বীজ অপরটির দ্বিগুণ হলে, দেখাই যে, $2b^2 = 9ac$
ধরি, সমীকরণটির একটি বীজ $\alpha$।
শর্তানুসারে, অপর বীজটি হবে $2\alpha$।
আমরা জানি, বীজদ্বয়ের সমষ্টি: $\displaystyle \alpha + 2\alpha = -\frac{b}{a}$
$\implies \displaystyle 3\alpha = -\frac{b}{a} \implies \alpha = -\frac{b}{3a}$ ----- (১ নং সমীকরণ)
আবার, বীজদ্বয়ের গুণফল: $\displaystyle \alpha \times 2\alpha = \frac{c}{a}$
$\implies \displaystyle 2\alpha^2 = \frac{c}{a}$
এখন $\alpha$-এর মান (১ নং থেকে) বসিয়ে পাই:
$\implies \displaystyle 2\left(-\frac{b}{3a}\right)^2 = \frac{c}{a}$
$\implies \displaystyle 2\left(\frac{b^2}{9a^2}\right) = \frac{c}{a}$
$\implies \displaystyle \frac{2b^2}{9a^2} = \frac{c}{a}$
বজ্রগুণন করে পাই: $2ab^2 = 9a^2c$
উভয়পক্ষকে $a$ দ্বারা ভাগ করে পাই ($a \neq 0$):
$\implies 2b^2 = 9ac$
(প্রমাণিত)
10. যে সমীকরণের বীজগুলি $x^2 + px + 1 = 0$ সমীকরণের বীজগুলির অন্যোন্যক, সেই সমীকরণটি গঠন করি।
ধরি, $x^2 + px + 1 = 0$ সমীকরণের বীজ দুটি হলো $\alpha$ এবং $\beta$।
তাহলে, $\alpha + \beta = -p$ এবং $\alpha\beta = 1$
নির্ণেয় সমীকরণের বীজগুলি হবে $\displaystyle \frac{1}{\alpha}$ এবং $\displaystyle \frac{1}{\beta}$।
নতুন বীজদ্বয়ের সমষ্টি = $\displaystyle \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} = \frac{-p}{1} = -p$
নতুন বীজদ্বয়ের গুণফল = $\displaystyle \frac{1}{\alpha} \times \frac{1}{\beta} = \frac{1}{\alpha\beta} = \frac{1}{1} = 1$
অতএব, নির্ণেয় সমীকরণটি হবে: $x^2 - (\text{বীজদ্বয়ের সমষ্টি})x + (\text{বীজদ্বয়ের গুণফল}) = 0$
$\implies x^2 - (-p)x + 1 = 0$
$\implies x^2 + px + 1 = 0$
নির্ণেয় সমীকরণটি হলো: $x^2 + px + 1 = 0$
11. $x^2 + x + 1 = 0$ সমীকরণটির বীজগুলির বর্গ যে সমীকরণের বীজ, সেই সমীকরণটি নির্ণয় করি।
ধরি, $x^2 + x + 1 = 0$ সমীকরণের বীজ দুটি $\alpha$ এবং $\beta$।
তাহলে, $\alpha + \beta = -1$ এবং $\alpha\beta = 1$
নির্ণেয় সমীকরণের বীজগুলি হবে $\alpha^2$ এবং $\beta^2$।
নতুন বীজদ্বয়ের সমষ্টি = $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = (-1)^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$
নতুন বীজদ্বয়ের গুণফল = $\alpha^2\beta^2 = (\alpha\beta)^2 = (1)^2 = 1$
অতএব, নির্ণেয় সমীকরণটি হবে: $x^2 - (\alpha^2 + \beta^2)x + \alpha^2\beta^2 = 0$
$\implies x^2 - (-1)x + 1 = 0$
$\implies x^2 + x + 1 = 0$
নির্ণেয় সমীকরণটি হলো: $x^2 + x + 1 = 0$
12. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)-
(i) $x^2 - 6x + 2 = 0$ সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি—
সমাধান: সমষ্টি $= -\frac{b}{a} = -\frac{-6}{1} = 6$
(a) 2 (b) -2 (c) 6 (d) -6 -
(ii) $x^2 - 3x + k = 10$ সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল -2 হলে, $k$-এর মান—
সমাধান: সমীকরণটি হলো $x^2 - 3x + (k-10) = 0$। গুণফল $= k-10 = -2 \implies k = 8$
(a) -2 (b) -8 (c) 8 (d) 12 -
(iii) $ax^2 + bx + c = 0 (a \neq 0)$ সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব এবং অসমান হলে, $b^2 - 4ac$ হবে—
(a) $> 0$ (b) $= 0$ (c) $< 0$ (d) কোনোটিই নয় -
(iv) $ax^2 + bx + c = 0 (a \neq 0)$ সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে—
সমাধান: বীজদ্বয় সমান হলে $b^2 - 4ac = 0 \implies b^2 = 4ac \implies c = \frac{b^2}{4a}$
(a) $c = -\frac{b}{2a}$ (b) $c = \frac{b}{2a}$ (c) $c = \frac{-b^2}{4a}$ (d) $c = \frac{b^2}{4a}$ -
(v) $3x^2 + 8x + 2 = 0$ সমীকরণের বীজদ্বয় $\alpha$ এবং $\beta$ হলে, $\left(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}\right)$ -এর মান—
সমাধান: $\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta} = \frac{-8/3}{2/3} = -4$
(a) $-\frac{3}{8}$ (b) $\frac{2}{3}$ (c) -4 (d) 4
(i) $x^2 + x + 1 = 0$ সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব।
নিরূপক = $1^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3 < 0$। যেহেতু নিরূপক ঋণাত্মক, বীজদ্বয় অবাস্তব।
উত্তর: মিথ্যা।
(ii) $x^2 - x + 2 = 0$ সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব নয়।
নিরূপক = $(-1)^2 - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7 < 0$। বীজদ্বয় বাস্তব নয়, এটি ঠিক।
উত্তর: সত্য।
(i) $7x^2 - 12x + 18 = 0$ সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুণফলের অনুপাত 2 : 3
সমাধান: সমষ্টি $\frac{12}{7}$, গুণফল $\frac{18}{7}$। অনুপাত = $12 : 18 = 2 : 3$
(ii) $ax^2 + bx + c = 0 (a \neq 0)$ সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক হলে, c = a
সমাধান: বীজদ্বয়ের গুণফল $\alpha \times \frac{1}{\alpha} = \frac{c}{a} \implies 1 = \frac{c}{a} \implies c = a$
(iii) $ax^2 + bx + c = 0 (a \neq 0)$ সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক এবং বিপরীত (ঋণাত্মক) হলে, a + c = 0
সমাধান: বীজদ্বয় $\alpha$ এবং $-\frac{1}{\alpha}$। গুণফল = $-1$। $\frac{c}{a} = -1 \implies c = -a \implies a+c = 0$
13. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি 14 এবং গুণফল 24 হলে, দ্বিঘাত সমীকরণটি লিখি।আমরা জানি, দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো: $x^2 - (\text{বীজদ্বয়ের সমষ্টি})x + (\text{বীজদ্বয়ের গুণফল}) = 0$
$\implies x^2 - 14x + 24 = 0$
নির্ণেয় সমীকরণ: $x^2 - 14x + 24 = 0$
বীজদ্বয়ের সমষ্টি = $\displaystyle -\frac{2}{k}$
বীজদ্বয়ের গুণফল = $\displaystyle \frac{3k}{k} = 3$
প্রশ্নানুসারে, সমষ্টি = গুণফল
$\implies \displaystyle -\frac{2}{k} = 3 \implies 3k = -2 \implies k = -\frac{2}{3}$
$k$-এর মান: $\displaystyle -\frac{2}{3}$
$\alpha + \beta = 22$ এবং $\alpha\beta = 105$
আমরা জানি, $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$
$= (22)^2 - 4(105) = 484 - 420 = 64$
$\therefore (\alpha - \beta) = \pm\sqrt{64} = \pm 8$
$(\alpha - \beta)$-এর মান: $\pm 8$
সমীকরণটি সাজিয়ে পাই:
$x^2 - x = 2kx - k \implies x^2 - x - 2kx + k = 0$
$\implies x^2 - (1 + 2k)x + k = 0$
বীজদ্বয়ের সমষ্টি = $1 + 2k$
প্রশ্নানুসারে, সমষ্টি শূন্য, তাই $1 + 2k = 0 \implies 2k = -1 \implies k = -\frac{1}{2}$
$k$-এর মান: $\displaystyle -\frac{1}{2}$
যেহেতু 2 হলো প্রথম সমীকরণের বীজ, তাই $x=2$ বসালে সমীকরণটি সিদ্ধ হবে:
$(2)^2 + b(2) + 12 = 0 \implies 4 + 2b + 12 = 0 \implies 2b = -16 \implies b = -8$
যেহেতু 2 হলো দ্বিতীয় সমীকরণেরও বীজ, তাই দ্বিতীয় সমীকরণে $x=2$ এবং $b=-8$ বসিয়ে পাই:
$(2)^2 + (-8)(2) + q = 0 \implies 4 - 16 + q = 0 \implies -12 + q = 0 \implies q = 12$
$q$-এর মান: 12