দশম শ্রেণীর গণিত কষে দেখি 1.2 সম্পূর্ণ সমাধান

প্রদত্ত সমীকরণের বামপক্ষে $x = 1$ বসিয়ে পাই:

$1^2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3 \neq 0$

আবার, বামপক্ষে $x = -1$ বসিয়ে পাই:

$(-1)^2 + (-1) + 1 = 1 - 1 + 1 = 1 \neq 0$

উত্তর: 1 ও -1 প্রদত্ত সমীকরণের বীজ নয়।

সমীকরণের বামপক্ষে $x = 0$ বসিয়ে পাই:

$8(0)^2 + 7(0) = 0 + 0 = 0$ (ডানপক্ষের সমান)

সুতরাং, 0 সমীকরণটির একটি বীজ।

আবার, বামপক্ষে $x = -2$ বসিয়ে পাই:

$8(-2)^2 + 7(-2) = 8(4) - 14 = 32 - 14 = 18 \neq 0$

উত্তর: 0 প্রদত্ত সমীকরণের বীজ কিন্তু -2 সমীকরণের বীজ নয়।

বামপক্ষে $\displaystyle x = \frac{5}{6}$ বসিয়ে পাই:

$\displaystyle \frac{5}{6} + \frac{1}{\frac{5}{6}} = \frac{5}{6} + \frac{6}{5} = \frac{25+36}{30} = \frac{61}{30} \neq \frac{13}{6}$

বামপক্ষে $\displaystyle x = \frac{4}{3}$ বসিয়ে পাই:

$\displaystyle \frac{4}{3} + \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{4}{3} + \frac{3}{4} = \frac{16+9}{12} = \frac{25}{12} \neq \frac{13}{6}$

উত্তর: $\displaystyle\frac{5}{6}$ ও $\displaystyle\frac{4}{3}$ সমীকরণের বীজ নয়।

বামপক্ষে $x = -\sqrt{3}$ বসিয়ে পাই:

$(-\sqrt{3})^2 - \sqrt{3}(-\sqrt{3}) - 6 = 3 + (\sqrt{3} \times \sqrt{3}) - 6 = 3 + 3 - 6 = 0$

বামপক্ষে $x = 2\sqrt{3}$ বসিয়ে পাই:

$(2\sqrt{3})^2 - \sqrt{3}(2\sqrt{3}) - 6 = (4 \times 3) - (2 \times 3) - 6 = 12 - 6 - 6 = 0$

উত্তর: $-\sqrt{3}$ এবং $2\sqrt{3}$ উভয়েই প্রদত্ত সমীকরণের বীজ।

যেহেতু $\displaystyle x = \frac{2}{3}$ সমীকরণটির একটি বীজ, তাই এটি সমীকরণটিকে সিদ্ধ করবে।

সমীকরণে $\displaystyle x = \frac{2}{3}$ বসিয়ে পাই:

$\displaystyle 7\left(\frac{2}{3}\right)^2 + k\left(\frac{2}{3}\right) - 3 = 0$

$\displaystyle 7\left(\frac{4}{9}\right) + \frac{2k}{3} - 3 = 0$

$\displaystyle \frac{28}{9} + \frac{2k}{3} - 3 = 0$

ল.সা.গু. 9 করে পাই:

$\displaystyle \frac{28 + 6k - 27}{9} = 0$

$1 + 6k = 0 \implies 6k = -1 \implies k = -\frac{1}{6}$

উত্তর: k-এর নির্ণেয় মান $-\frac{1}{6}$

যেহেতু $x = -a$ সমীকরণটির একটি বীজ, তাই এটি সমীকরণটিকে সিদ্ধ করবে।

সমীকরণে $x = -a$ বসিয়ে পাই:

$(-a)^2 + 3a(-a) + k = 0$

$a^2 - 3a^2 + k = 0$

$-2a^2 + k = 0 \implies k = 2a^2$

উত্তর: k-এর নির্ণেয় মান $2a^2$

যেহেতু $\displaystyle x = \frac{2}{3}$ একটি বীজ, সমীকরণে বসিয়ে পাই:

$\displaystyle a\left(\frac{2}{3}\right)^2 + 7\left(\frac{2}{3}\right) + b = 0$

$\displaystyle \frac{4a}{9} + \frac{14}{3} + b = 0$

$\displaystyle \frac{4a + 42 + 9b}{9} = 0 \implies 4a + 9b + 42 = 0$ ------ (১ নং সমীকরণ)

আবার, যেহেতু $x = -3$ অপর একটি বীজ, সমীকরণে বসিয়ে পাই:

$a(-3)^2 + 7(-3) + b = 0$

$9a - 21 + b = 0 \implies b = 21 - 9a$ ------ (২ নং সমীকরণ)

(২) নং থেকে b এর মান (১) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:

$4a + 9(21 - 9a) + 42 = 0$

$4a + 189 - 81a + 42 = 0$

$-77a + 231 = 0 \implies 77a = 231 \implies a = \frac{231}{77} = 3$

এবার $a = 3$ মানটি (২) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:

$b = 21 - 9(3) = 21 - 27 = -6$

উত্তর: $a = 3$ এবং $b = -6$

$\implies 3y^2 + 2y^2 = 160 + 20$

$\implies 5y^2 = 180$

$\implies y^2 = \frac{180}{5} = 36$

$\implies y = \pm \sqrt{36} = \pm 6$

নির্ণেয় সমাধান: $y = 6, -6$

$\implies (4x^2 + 4x + 1) + (x^2 + 2x + 1) = 6x + 47$

$\implies 5x^2 + 6x + 2 = 6x + 47$

$\implies 5x^2 + 6x - 6x = 47 - 2$

$\implies 5x^2 = 45 \implies x^2 = 9$

$\implies x = \pm 3$

নির্ণেয় সমাধান: $x = 3, -3$

$\implies x^2 - 9x - 7x + 63 = 195$

$\implies x^2 - 16x + 63 - 195 = 0$

$\implies x^2 - 16x - 132 = 0$

$\implies x^2 - (22 - 6)x - 132 = 0$

$\implies x^2 - 22x + 6x - 132 = 0$

$\implies x(x - 22) + 6(x - 22) = 0$

$\implies (x - 22)(x + 6) = 0$

হয় $x - 22 = 0 \implies x = 22$, অথবা $x + 6 = 0 \implies x = -6$

নির্ণেয় সমাধান: $x = 22, -6$

$\implies \displaystyle\frac{3x^2 - 24}{x} = \frac{x}{3}$

বজ্রগুণন করে পাই:

$\implies 3(3x^2 - 24) = x \cdot x$

$\implies 9x^2 - 72 = x^2$

$\implies 9x^2 - x^2 = 72 \implies 8x^2 = 72$

$\implies x^2 = \frac{72}{8} = 9 \implies x = \pm 3$

নির্ণেয় সমাধান: $x = 3, -3$

$\implies \displaystyle\frac{x}{3} = \frac{15}{x} - \frac{3}{x}$

$\implies \displaystyle\frac{x}{3} = \frac{12}{x}$

$\implies x^2 = 36 \implies x = \pm 6$

নির্ণেয় সমাধান: $x = 6, -6$

$\implies \displaystyle\frac{10x^2 - 1}{x} = 3$

$\implies 10x^2 - 1 = 3x$

$\implies 10x^2 - 3x - 1 = 0$

$\implies 10x^2 - 5x + 2x - 1 = 0$

$\implies 5x(2x - 1) + 1(2x - 1) = 0$

$\implies (2x - 1)(5x + 1) = 0$

হয় $2x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2}$, অথবা $5x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{5}$

নির্ণেয় সমাধান: $\displaystyle x = \frac{1}{2}, -\frac{1}{5}$

ধরি, $\displaystyle\frac{1}{x} = a$, তাহলে সমীকরণটি হয়:

$2a^2 - 5a + 2 = 0$

$\implies 2a^2 - 4a - a + 2 = 0$

$\implies 2a(a - 2) - 1(a - 2) = 0$

$\implies (a - 2)(2a - 1) = 0$

হয় $a = 2 \implies \frac{1}{x} = 2 \implies x = \frac{1}{2}$

অথবা $2a - 1 = 0 \implies a = \frac{1}{2} \implies \frac{1}{x} = \frac{1}{2} \implies x = 2$

নির্ণেয় সমাধান: $\displaystyle x = 2, \frac{1}{2}$

উভয় পদ থেকে $(x-2)$ কমন নিয়ে পাই:

$\displaystyle (x-2) \left[ \frac{1}{x+2} + \frac{6}{x-6} \right] = 1$

$\displaystyle \implies (x-2) \left[ \frac{x - 6 + 6(x + 2)}{(x+2)(x-6)} \right] = 1$

$\displaystyle \implies (x-2) \left[ \frac{x - 6 + 6x + 12}{x^2 - 4x - 12} \right] = 1$

$\displaystyle \implies \frac{(x-2)(7x + 6)}{x^2 - 4x - 12} = 1$

$\implies 7x^2 + 6x - 14x - 12 = x^2 - 4x - 12$

$\implies 7x^2 - 8x - 12 = x^2 - 4x - 12$

$\implies 6x^2 - 4x = 0$

$\implies 2x(3x - 2) = 0$

হয় $2x = 0 \implies x = 0$, অথবা $3x - 2 = 0 \implies x = \frac{2}{3}$

নির্ণেয় সমাধান: $\displaystyle x = 0, \frac{2}{3}$

$\implies \displaystyle\frac{(x+5) - (x-3)}{(x-3)(x+5)} = \frac{1}{6}$

$\implies \displaystyle\frac{x + 5 - x + 3}{x^2 + 2x - 15} = \frac{1}{6}$

$\implies \displaystyle\frac{8}{x^2 + 2x - 15} = \frac{1}{6}$

$\implies x^2 + 2x - 15 = 48$

$\implies x^2 + 2x - 63 = 0$

$\implies x^2 + 9x - 7x - 63 = 0$

$\implies x(x + 9) - 7(x + 9) = 0 \implies (x + 9)(x - 7) = 0$

হয় $x = -9$, অথবা $x = 7$

নির্ণেয় সমাধান: $x = 7, -9$

ধরি, $\displaystyle\frac{x}{x+1} = a$, তাহলে $\displaystyle\frac{x+1}{x} = \frac{1}{a}$

সমীকরণটি হয়: $\displaystyle a + \frac{1}{a} = \frac{25}{12}$

$\implies \displaystyle\frac{a^2 + 1}{a} = \frac{25}{12}$

$\implies 12a^2 + 12 = 25a \implies 12a^2 - 25a + 12 = 0$

$\implies 12a^2 - 16a - 9a + 12 = 0$

$\implies 4a(3a - 4) - 3(3a - 4) = 0 \implies (3a - 4)(4a - 3) = 0$

ক্ষেত্র ১: $3a - 4 = 0 \implies a = \frac{4}{3} \implies \frac{x}{x+1} = \frac{4}{3} \implies 3x = 4x + 4 \implies x = -4$

ক্ষেত্র ২: $4a - 3 = 0 \implies a = \frac{3}{4} \implies \frac{x}{x+1} = \frac{3}{4} \implies 4x = 3x + 3 \implies x = 3$

নির্ণেয় সমাধান: $x = 3, -4$

বজ্রগুণন করে পাই:

$(ax+b)(c+dx) = (cx+d)(a+bx)$

$\implies acx + adx^2 + bc + bdx = acx + bcx^2 + ad + bdx$

উভয়দিক থেকে $acx$ এবং $bdx$ বাতিল করে পাই:

$\implies adx^2 + bc = bcx^2 + ad$

$\implies adx^2 - bcx^2 = ad - bc$

$\implies x^2(ad - bc) = (ad - bc)$

যেহেতু $a \neq b$ এবং $c \neq d$, $ad - bc \neq 0$ ধরে ভাগ করে পাই:

$\implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$

নির্ণেয় সমাধান: $x = 1, -1$

ধরি, $2x+1 = a$, সমীকরণটি হয়:

$\displaystyle a + \frac{3}{a} = 4 \implies \frac{a^2 + 3}{a} = 4$

$\implies a^2 - 4a + 3 = 0$

$\implies a^2 - 3a - a + 3 = 0 \implies a(a - 3) - 1(a - 3) = 0$

$\implies (a - 3)(a - 1) = 0$

হয় $a = 3 \implies 2x+1 = 3 \implies 2x = 2 \implies x = 1$

অথবা $a = 1 \implies 2x+1 = 1 \implies 2x = 0 \implies x = 0$

নির্ণেয় সমাধান: $x = 1, 0$

একই রকম পদগুলো একদিকে সাজিয়ে পাই:

$\displaystyle \frac{x+1}{2} - \frac{x+1}{3} = \frac{3}{x+1} - \frac{2}{x+1} - \frac{5}{6}$

$\displaystyle \implies (x+1)\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{x+1} - \frac{5}{6}$

$\displaystyle \implies (x+1)\left(\frac{3 - 2}{6}\right) = \frac{1}{x+1} - \frac{5}{6}$

$\displaystyle \implies \frac{x+1}{6} + \frac{5}{6} = \frac{1}{x+1}$

$\displaystyle \implies \frac{x+1+5}{6} = \frac{1}{x+1} \implies \frac{x+6}{6} = \frac{1}{x+1}$

$\implies (x+6)(x+1) = 6 \implies x^2 + 7x + 6 = 6$

$\implies x^2 + 7x = 0 \implies x(x + 7) = 0$

হয় $x = 0$, অথবা $x + 7 = 0 \implies x = -7$

নির্ণেয় সমাধান: $x = 0, -7$

$\implies \displaystyle\frac{(12x+17)(x+7) - (2x+15)(3x+1)}{(3x+1)(x+7)} = \frac{16}{5}$

লব গুণ করে পাই: $(12x^2 + 84x + 17x + 119) - (6x^2 + 2x + 45x + 15)$

$= 12x^2 + 101x + 119 - 6x^2 - 47x - 15 = 6x^2 + 54x + 104$

হর গুণ করে পাই: $3x^2 + 21x + x + 7 = 3x^2 + 22x + 7$

তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়: $\displaystyle \frac{6x^2 + 54x + 104}{3x^2 + 22x + 7} = \frac{16}{5}$

লবকে ২ দিয়ে ভাগ করে ছোট করি:

$\displaystyle \implies \frac{2(3x^2 + 27x + 52)}{3x^2 + 22x + 7} = \frac{16}{5} \implies \frac{3x^2 + 27x + 52}{3x^2 + 22x + 7} = \frac{8}{5}$

বজ্রগুণন: $5(3x^2 + 27x + 52) = 8(3x^2 + 22x + 7)$

$\implies 15x^2 + 135x + 260 = 24x^2 + 176x + 56$

$\implies 24x^2 - 15x^2 + 176x - 135x + 56 - 260 = 0$

$\implies 9x^2 + 41x - 204 = 0$

শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে:

$\displaystyle x = \frac{-41 \pm \sqrt{41^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-204)}}{2 \cdot 9} = \frac{-41 \pm \sqrt{1681 + 7344}}{18}$

$\displaystyle x = \frac{-41 \pm \sqrt{9025}}{18} = \frac{-41 \pm 95}{18}$

হয় $\displaystyle x = \frac{54}{18} = 3$, অথবা $\displaystyle x = \frac{-136}{18} = -\frac{68}{9} = -7\frac{5}{9}$

নির্ণেয় সমাধান: $\displaystyle x = 3, -7\frac{5}{9}$

ধরি, $\displaystyle\frac{x+3}{x-3} = a$, তাহলে সমীকরণটি হয়:

$\displaystyle a + \frac{6}{a} = 5 \implies a^2 - 5a + 6 = 0$

$\implies (a - 2)(a - 3) = 0$

হয় $a = 2 \implies \frac{x+3}{x-3} = 2 \implies x+3 = 2x-6 \implies x = 9$

অথবা $a = 3 \implies \frac{x+3}{x-3} = 3 \implies x+3 = 3x-9 \implies 2x = 12 \implies x = 6$

নির্ণেয় সমাধান: $x = 9, 6$

$\implies \displaystyle\frac{1}{a+b+x} - \frac{1}{x} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$

$\implies \displaystyle\frac{x - (a+b+x)}{x(a+b+x)} = \frac{b+a}{ab}$

$\implies \displaystyle\frac{x - a - b - x}{ax + bx + x^2} = \frac{a+b}{ab}$

$\implies \displaystyle\frac{-(a+b)}{x^2 + ax + bx} = \frac{a+b}{ab}$

উভয়পক্ষকে $(a+b)$ দিয়ে ভাগ করে পাই (ধরে নিচ্ছি $a+b \neq 0$):

$\implies \displaystyle\frac{-1}{x^2 + ax + bx} = \frac{1}{ab}$

$\implies x^2 + ax + bx = -ab \implies x^2 + ax + bx + ab = 0$

$\implies x(x + a) + b(x + a) = 0 \implies (x + a)(x + b) = 0$

হয় $x + a = 0 \implies x = -a$, অথবা $x + b = 0 \implies x = -b$

নির্ণেয় সমাধান: $x = -a, -b$

ধরি, $\displaystyle\frac{x+a}{x-a} = p$, তাহলে সমীকরণটি হয়:

$p^2 - 5p + 6 = 0 \implies (p - 2)(p - 3) = 0$

হয় $p = 2 \implies \frac{x+a}{x-a} = 2 \implies x+a = 2x-2a \implies x = 3a$

অথবা $p = 3 \implies \frac{x+a}{x-a} = 3 \implies x+a = 3x-3a \implies 2x = 4a \implies x = 2a$

নির্ণেয় সমাধান: $x = 3a, 2a$

$\implies \displaystyle\frac{x+b-x}{x(x+b)} = \frac{a+b-a}{a(a+b)}$

$\implies \displaystyle\frac{b}{x^2+bx} = \frac{b}{a^2+ab}$

উভয়পক্ষকে $b$ দিয়ে ভাগ করে ($b \neq 0$ ধরে):

$\implies x^2 + bx = a^2 + ab \implies x^2 - a^2 + bx - ab = 0$

$\implies (x-a)(x+a) + b(x-a) = 0 \implies (x-a)(x+a+b) = 0$

হয় $x - a = 0 \implies x = a$, অথবা $x + a + b = 0 \implies x = -(a+b)$

নির্ণেয় সমাধান: $x = a, -(a+b)$

পদগুলিকে ভেঙে লিখলে পাই (Telescoping Series):

$\displaystyle \left(\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-1}\right) + \left(\frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-2}\right) + \left(\frac{1}{x-4} - \frac{1}{x-3}\right) = \frac{1}{6}$

মাঝের পদগুলো কেটে যায়, ফলে থাকে:

$\displaystyle \frac{1}{x-4} - \frac{1}{x-1} = \frac{1}{6}$

$\implies \displaystyle\frac{x-1 - (x-4)}{(x-4)(x-1)} = \frac{1}{6} \implies \frac{3}{x^2 - 5x + 4} = \frac{1}{6}$

$\implies x^2 - 5x + 4 = 18 \implies x^2 - 5x - 14 = 0$

$\implies (x - 7)(x + 2) = 0$

হয় $x - 7 = 0 \implies x = 7$, অথবা $x + 2 = 0 \implies x = -2$

নির্ণেয় সমাধান: $x = 7, -2$

ডানপক্ষকে ভেঙে দুই দিকে ভাগ করে দিই:

$\displaystyle \left(\frac{a}{x-a} - \frac{c}{x-c}\right) + \left(\frac{b}{x-b} - \frac{c}{x-c}\right) = 0$

$\implies \displaystyle\frac{ax-ac-cx+ac}{(x-a)(x-c)} + \frac{bx-bc-cx+bc}{(x-b)(x-c)} = 0$

$\implies \displaystyle\frac{x(a-c)}{(x-a)(x-c)} + \frac{x(b-c)}{(x-b)(x-c)} = 0$

$\implies \displaystyle x \cdot \left[ \frac{a-c}{(x-a)(x-c)} + \frac{b-c}{(x-b)(x-c)} \right] = 0$

হয় $x = 0$

অথবা, বন্ধনীর ভেতরের অংশ শূন্য: $\displaystyle\frac{a-c}{(x-a)(x-c)} + \frac{b-c}{(x-b)(x-c)} = 0$

উভয়পক্ষকে $(x-c)$ দিয়ে গুণ করে পাই (যেহেতু $x \neq c$):

$\displaystyle \frac{a-c}{x-a} + \frac{b-c}{x-b} = 0 \implies \frac{a-c}{x-a} = \frac{c-b}{x-b}$

$\implies (a-c)(x-b) = (c-b)(x-a)$

$\implies ax - ab - cx + bc = cx - ac - bx + ab$

$\implies ax + bx - 2cx = 2ab - ac - bc$

$\implies x(a+b-2c) = 2ab - ac - bc \implies x = \frac{2ab-ac-bc}{a+b-2c}$

নির্ণেয় সমাধান: $\displaystyle x = 0, \frac{2ab-ac-bc}{a+b-2c}$

$\implies x^2 - \sqrt{3}x - 2x + 2\sqrt{3} = 0$

প্রথম দুটি পদ থেকে $x$ এবং শেষের দুটি পদ থেকে $-2$ কমন নিয়ে পাই:

$\implies x(x - \sqrt{3}) - 2(x - \sqrt{3}) = 0$

$\implies (x - \sqrt{3})(x - 2) = 0$

হয় $x - \sqrt{3} = 0 \implies x = \sqrt{3}$, অথবা $x - 2 = 0 \implies x = 2$

নির্ণেয় সমাধান: $x = \sqrt{3}, 2$