1. নীচের বহুপদী সংখ্যামালার মধ্যে কোনটি/কোনগুলি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা বুঝে লিখি:
(i) $x^2-7x+2$আমরা জানি, যে বহুপদী সংখ্যামালায় চলের সর্বোচ্চ ঘাত ২ (দুই), তাকে দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা বলে।
এখানে $x$-এর সর্বোচ্চ ঘাত 2।
উত্তর: এটি একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা।
সংখ্যামালাটিকে সরল করলে পাই: $7x^5 - x^2 - 2x$
যেহেতু এই সংখ্যামালায় চল $x$-এর সর্বোচ্চ ঘাত 5, তাই এটি দ্বিঘাত নয় (এটি একটি পঞ্চঘাত সংখ্যামালা)।
উত্তর: এটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয়।
সংখ্যামালাটিকে সরল করলে পাই: $2x^2 + 10x + 1$
যেহেতু সরলীকৃত রূপে $x$-এর সর্বোচ্চ ঘাত 2, তাই এটি দ্বিঘাত।
উত্তর: এটি একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা।
এখানে $x$-এর সর্বোচ্চ ঘাত 1। তাই এটি দ্বিঘাত নয়, এটি একটি রৈখিক (Linear) বহুপদী সংখ্যামালা।
উত্তর: এটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয়।
2. নীচের সমীকরণগুলির কোনটি $ax^2+bx+c=0$ ($a, b, c$ বাস্তব সংখ্যা এবং $a \neq 0$) আকারে লেখা যায় তা লিখি:
(i) $x-1+\frac{1}{x}=6, (x \neq 0)$প্রদত্ত সমীকরণটি সরল করে পাই:
$$ \frac{x^2 - x + 1}{x} = 6 $$
বজ্রগুণন (Cross multiplication) করে পাই,
$$ x^2 - x + 1 = 6x $$
$$ x^2 - x - 6x + 1 = 0 \implies x^2 - 7x + 1 = 0 $$
হ্যাঁ, এটিকে $ax^2+bx+c=0$ আকারে লেখা যায়। (যেখানে a=1, b=-7, c=1)
সরল করে পাই:
$$ \frac{x^2 + 3}{x} = x^2 $$
$$ x^2 + 3 = x^3 $$
$$ x^3 - x^2 - 3 = 0 $$
যেহেতু চলের সর্বোচ্চ ঘাত 3, তাই এটি একটি ত্রিঘাত সমীকরণ।
না, এটিকে $ax^2+bx+c=0$ আকারে লেখা যায় না।
এখানে সমীকরণে $\sqrt{x}$ অর্থাৎ $x^{\frac{1}{2}}$ পদটি আছে। বহুপদী সংখ্যামালায় চলের সূচক অখণ্ড সংখ্যা (0, 1, 2...) হতে হয়। ভগ্নাংশ ঘাত থাকলে সেটি $ax^2+bx+c=0$ আকারে সাজানো সম্ভব নয়।
না, এটিকে লেখা যায় না।
বামপক্ষকে $(a-b)^2$ এর সূত্রে ভাঙলে পাই:
$$ x^2 - 4x + 4 = x^2 - 4x + 4 $$
সব পদ বামদিকে আনলে: $0 = 0$। এটি একটি অভেদ (Identity), কোনো সমীকরণ নয়। কারণ $x$ এর যেকোনো মানের জন্য এটি সত্য।
না, এটিকে $ax^2+bx+c=0$ আকারে লেখা যায় না।
3. $x^6-x^3-2=0$ সমীকরণটি চলের কোন ঘাতের সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ তা নির্ণয় করি।
প্রদত্ত সমীকরণ: $$x^6-x^3-2=0$$
সূচকের নিয়মানুযায়ী আমরা $x^6$ কে $(x^3)^2$ লিখতে পারি। তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়:
$$ (x^3)^2 - (x^3) - 2 = 0 $$
এখন যদি আমরা $x^3 = y$ ধরি, তবে সমীকরণটি হবে:
$$ y^2 - y - 2 = 0 $$
এটি স্পষ্টতই $y$ এর একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। যেহেতু $y = x^3$, তাই বলা যায় সমীকরণটি $x^3$ এর সাপেক্ষে দ্বিঘাত।
উত্তর: সমীকরণটি $x^3$-এর সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
4. নীচের সমীকরণগুলি সমাধান করি ও প্রকাশ করি:
(i) $(a-2)x^2+3x+5=0$ সমীকরণটি a-এর কোন মানের জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না তা নির্ণয় করি।একটি সমীকরণ $Ax^2+Bx+C=0$ দ্বিঘাত হবে না, যদি $x^2$-এর সহগ (অর্থাৎ $A$) শূন্য হয়ে যায়।
এখানে, $x^2$-এর সহগ হল $(a-2)$।
সুতরাং, দ্বিঘাত সমীকরণ না হওয়ার শর্তানুযায়ী:
$$ a - 2 = 0 \implies a = 2 $$
উত্তর: $a$-এর মান 2 হলে সমীকরণটি দ্বিঘাত হবে ঘন।
বজ্রগুণন (Cross multiplication) করে পাই:
$$ 3x \times x = 1 \times (4 - x) $$
$$ 3x^2 = 4 - x $$
সব পদ বামদিকে নিয়ে এলে সমীকরণটি হবে:
$$ 3x^2 + x - 4 = 0 $$
এটি $ax^2+bx+c=0$ আকারের সমীকরণ। এখানে $x$ এর আগে কিছু নেই মানে 1 আছে (অর্থাৎ $1 \cdot x$)।
উত্তর: সমীকরণটিতে $x$-এর সহগ হল 1।
ডানপক্ষটি গুণ করে সরল করি:
$$ 3x^2 + 7x + 23 = x(x+3) + 4(x+3) + 2 $$
$$ 3x^2 + 7x + 23 = x^2 + 3x + 4x + 12 + 2 $$
$$ 3x^2 + 7x + 23 = x^2 + 7x + 14 $$
সব পদ বামদিকে আনলে:
$$ 3x^2 - x^2 + 7x - 7x + 23 - 14 = 0 $$
$$ 2x^2 + 9 = 0 $$
উত্তর: $ax^2+bx+c=0$ আকারে প্রকাশ করলে হবে $2x^2 + 0 \cdot x + 9 = 0$।
বামপক্ষে $(a+b)^3$ এর সূত্র এবং ডানপক্ষে গুণ প্রয়োগ করি:
$$ x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3 = x^3 - x $$
$$ x^3 + 6x^2 + 12x + 8 = x^3 - x $$
উভয় দিক থেকে $x^3$ বাতিল করে এবং ডানদিকের $-x$ বামদিকে আনলে:
$$ 6x^2 + 12x + x + 8 = 0 $$
$$ 6x^2 + 13x + 8 = 0 $$
এটি $ax^2+bx+c=0$ আকার। এখানে ধ্রুবক পদটিকে $8 \cdot x^0$ লেখা যায় (কারণ $x^0 = 1$)।
উত্তর: $x^2$-এর সহগ = 6, $x$-এর সহগ = 13, এবং $x^0$-এর সহগ = 8।
5. নীচের বিবৃতিগুলি থেকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি:
(i) 42-কে এমন দুটি অংশে বিভক্ত করি যেন এক অংশ অপর অংশের বর্গের সমান হয়।ধরি, একটি অংশ = $x$
যেহেতু দুটি অংশের যোগফল 42, তাই অপর অংশটি হবে = $(42 - x)$
প্রশ্নানুসারে, একটি অংশ অপর অংশের বর্গের সমান। অর্থাৎ,
$$ (42 - x) = x^2 $$
ডানদিকের পদ বামদিকে আনলে (বা সব ডানদিকে নিয়ে গেলে):
$$ x^2 + x - 42 = 0 $$
নির্ণেয় সমীকরণ: $x^2 + x - 42 = 0$
অযুগ্ম সংখ্যা (Odd numbers) পর পর 2 এর ব্যবধানে থাকে (যেমন ৩, ৫, ৭)।
ধরি, প্রথম ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যাটি = $x$
তাহলে পরবর্তী ক্রমিক অযুগ্ম সংখ্যাটি হবে = $(x + 2)$
প্রশ্নানুসারে, এদের গুণফল 143। অর্থাৎ,
$$ x(x + 2) = 143 $$
$$ x^2 + 2x - 143 = 0 $$
নির্ণেয় সমীকরণ: $x^2 + 2x - 143 = 0$
ক্রমিক সংখ্যা (Consecutive numbers) পর পর 1 এর ব্যবধানে থাকে।
ধরি, প্রথম সংখ্যাটি = $x$। তাহলে অপর ক্রমিক সংখ্যাটি = $(x + 1)$
প্রশ্নানুসারে, এদের বর্গের সমষ্টি 313।
$$ x^2 + (x + 1)^2 = 313 $$
$$ x^2 + x^2 + 2x + 1 = 313 $$
$$ 2x^2 + 2x - 312 = 0 $$
উভয়পক্ষকে 2 দিয়ে ভাগ করলে পাই:
$$ x^2 + x - 156 = 0 $$
নির্ণেয় সমীকরণ: $x^2 + x - 156 = 0$
6. নীচের বিবৃতিগুলি থেকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি:
(i) একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 15 মিটার এবং তার দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা 3 মিটার বেশি।ধরি, আয়তাকার ক্ষেত্রের প্রস্থ = $x$ মিটার।
যেহেতু দৈর্ঘ্য প্রস্থের চেয়ে ৩ মিটার বেশি, তাই দৈর্ঘ্য = $(x+3)$ মিটার।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী আমরা জানি: $(\text{দৈর্ঘ্য})^2 + (\text{প্রস্থ})^2 = (\text{কর্ণ})^2$
$$ (x+3)^2 + x^2 = 15^2 $$
$$ x^2 + 6x + 9 + x^2 = 225 $$
$$ 2x^2 + 6x + 9 - 225 = 0 $$
$$ 2x^2 + 6x - 216 = 0 $$
উভয়পক্ষকে 2 দিয়ে ভাগ করলে:
$$ x^2 + 3x - 108 = 0 $$
নির্ণেয় সমীকরণ: $x^2 + 3x - 108 = 0$
ধরি, তিনি 80 টাকায় $x$ কিগ্রা. চিনি ক্রয় করেছিলেন।
তাহলে প্রতি কিগ্রা. চিনির দাম ছিল = $\displaystyle\frac{80}{x}$ টাকা।
যদি তিনি একই টাকায় আরও 4 কিগ্রা বেশি পেতেন, তবে চিনির পরিমাণ হতো $(x+4)$ কিগ্রা.
তখন প্রতি কিগ্রা চিনির দাম হতো = $\displaystyle\frac{80}{x+4}$ টাকা।
প্রশ্নানুসারে, নতুন দাম পুরোনো দামের থেকে ১ টাকা কম। অর্থাৎ:
$$ \frac{80}{x} - \frac{80}{x+4} = 1 $$
$$ \frac{80(x+4) - 80x}{x(x+4)} = 1 $$
$$ \frac{80x + 320 - 80x}{x^2+4x} = 1 $$
$$ 320 = x^2 + 4x \implies x^2 + 4x - 320 = 0 $$
নির্ণেয় সমীকরণ: $x^2 + 4x - 320 = 0$
ধরি, ট্রেনটির স্বাভাবিক গতিবেগ = $x$ কিমি/ঘণ্টা।
300 কিমি দূরত্ব যেতে স্বাভাবিক সময় লাগে = $\displaystyle\frac{300}{x}$ ঘণ্টা।
গতিবেগ ৫ কিমি/ঘণ্টা বেশি হলে নতুন গতিবেগ = $(x+5)$ কিমি/ঘণ্টা।
তখন 300 কিমি যেতে সময় লাগবে = $\displaystyle\frac{300}{x+5}$ ঘণ্টা।
প্রশ্নানুসারে, নতুন সময়টি স্বাভাবিক সময়ের চেয়ে ২ ঘণ্টা কম। অর্থাৎ:
$$ \frac{300}{x} - \frac{300}{x+5} = 2 $$
$$ 300 \left[ \frac{x+5-x}{x(x+5)} \right] = 2 $$
$$ \frac{300 \times 5}{x^2+5x} = 2 $$
$$ 1500 = 2(x^2+5x) \implies 750 = x^2+5x $$
$$ x^2 + 5x - 750 = 0 $$
নির্ণেয় সমীকরণ: $x^2 + 5x - 750 = 0$
ধরি, ঘড়িটির ক্রয়মূল্য = $x$ টাকা।
প্রশ্নানুসারে, শতকরা লাভের হার ক্রয়মূল্যের সমান, অর্থাৎ লাভের হার = $x\%$।
মোট লাভ = $\displaystyle x \times \frac{x}{100} = \frac{x^2}{100}$ টাকা।
আমরা জানি, বিক্রয়মূল্য = ক্রয়মূল্য + লাভ।
$$ x + \frac{x^2}{100} = 336 $$
$$ \frac{100x + x^2}{100} = 336 $$
$$ x^2 + 100x = 33600 $$
$$ x^2 + 100x - 33600 = 0 $$
নির্ণেয় সমীকরণ: $x^2 + 100x - 33600 = 0$
দেওয়া আছে, স্রোতের বেগ = 2 কিমি/ঘণ্টা।
ধরি, স্থির জলে নৌকার বেগ = $x$ কিমি/ঘণ্টা।
স্রোতের অনুকূলে নৌকার কার্যকরী বেগ = $(x+2)$ কিমি/ঘণ্টা।
স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার কার্যকরী বেগ = $(x-2)$ কিমি/ঘণ্টা।
21 কিমি যেতে অনুকূলে সময় লাগে $\displaystyle\frac{21}{x+2}$ ঘণ্টা এবং প্রতিকূলে ফিরে আসতে সময় লাগে $\displaystyle\frac{21}{x-2}$ ঘণ্টা।
মোট সময় 10 ঘণ্টা। প্রশ্নানুসারে:
$$ \frac{21}{x+2} + \frac{21}{x-2} = 10 $$
$$ 21 \left[ \frac{x-2 + x+2}{(x+2)(x-2)} \right] = 10 $$
$$ \frac{21 \times 2x}{x^2 - 4} = 10 $$
$$ 42x = 10x^2 - 40 $$
$$ 10x^2 - 42x - 40 = 0 $$
উভয়পক্ষকে 2 দিয়ে ভাগ করলে:
$$ 5x^2 - 21x - 20 = 0 $$
নির্ণেয় সমীকরণ: $5x^2 - 21x - 20 = 0$
ধরি, মহিমের একা কাজটি করতে সময় লাগে = $x$ ঘণ্টা।
তাহলে মজিদের একা কাজটি করতে সময় লাগে = $(x+3)$ ঘণ্টা।
মহিম 1 ঘণ্টায় করে কাজটির $\displaystyle\frac{1}{x}$ অংশ এবং মজিদ 1 ঘণ্টায় করে কাজটির $\displaystyle\frac{1}{x+3}$ অংশ।
উভয়ে একসঙ্গে 1 ঘণ্টায় করে = $\displaystyle\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+3} \right)$ অংশ।
যেহেতু তারা 2 ঘণ্টায় সম্পূর্ণ কাজটি (1 অংশ) করে, তাই তারা 1 ঘণ্টায় করে $\displaystyle\frac{1}{2}$ অংশ।
প্রশ্নানুসারে,
$$ \frac{1}{x} + \frac{1}{x+3} = \frac{1}{2} $$
$$ \frac{x+3+x}{x(x+3)} = \frac{1}{2} $$
$$ \frac{2x+3}{x^2+3x} = \frac{1}{2} $$
বজ্রগুণন করে পাই:
$$ x^2 + 3x = 2(2x+3) \implies x^2 + 3x = 4x + 6 $$
$$ x^2 - x - 6 = 0 $$
নির্ণেয় সমীকরণ: $x^2 - x - 6 = 0$
ধরি, সংখ্যাটির দশক স্থানীয় অঙ্কটি = $x$।
তাহলে একক স্থানীয় অঙ্কটি হবে = $(x+6)$।
সংখ্যাটি গঠন করার নিয়ম: $10 \times \text{দশকের অঙ্ক} + \text{এককের অঙ্ক}$।
সংখ্যাটি = $10x + (x+6) = 11x + 6$।
অঙ্কদ্বয়ের গুণফল = $x(x+6) = x^2 + 6x$।
প্রশ্নানুসারে, অঙ্কদ্বয়ের গুণফল = সংখ্যাটি - 12।
$$ x^2 + 6x = (11x + 6) - 12 $$
$$ x^2 + 6x = 11x - 6 $$
$$ x^2 + 6x - 11x + 6 = 0 $$
$$ x^2 - 5x + 6 = 0 $$
নির্ণেয় সমীকরণ: $x^2 - 5x + 6 = 0$
খেলার মাঠের ক্ষেত্রফল = $45 \times 40 = 1800$ বর্গ মিটার।
ধরি, রাস্তাটি $x$ মিটার চওড়া।
যেহেতু রাস্তাটি মাঠের বাইরের চারিপাশে আছে, তাই রাস্তা-সহ মাঠের দৈর্ঘ্য হবে $(45 + x + x) = (45 + 2x)$ মিটার এবং প্রস্থ হবে $(40 + x + x) = (40 + 2x)$ মিটার।
রাস্তা-সহ মাঠের মোট ক্ষেত্রফল = $(45 + 2x)(40 + 2x)$ বর্গ মিটার।
রাস্তার ক্ষেত্রফল = (রাস্তা-সহ মাঠের ক্ষেত্রফল) - (শুধুমাত্র মাঠের ক্ষেত্রফল)
প্রশ্নানুসারে,
$$ (45 + 2x)(40 + 2x) - 1800 = 450 $$
$$ (1800 + 90x + 80x + 4x^2) - 1800 = 450 $$
$$ 4x^2 + 170x = 450 $$
$$ 4x^2 + 170x - 450 = 0 $$
উভয়পক্ষকে 2 দিয়ে ভাগ করলে:
$$ 2x^2 + 85x - 225 = 0 $$
নির্ণেয় সমীকরণ: $2x^2 + 85x - 225 = 0$