WBBSE Class 7 Mathematics Solutions - কষে দেখি 21.1

সমাধান :

(a) না, শুধু চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য ও একটি কোণের মাপ জানা থাকলে নির্দিষ্টভাবে একটি চতুর্ভুজ আঁকা যাবে না। কারণ, বাহুগুলি এক হলেও কোণগুলি ভিন্ন হতে পারে, যার ফলে বিভিন্ন আকারের চতুর্ভুজ তৈরি হতে পারে। একটি নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকতে হলে কমপক্ষে ৫টি তথ্য দরকার। যেমন - চারটি বাহু ও একটি কর্ণ অথবা তিনটি বাহু ও দুটি কর্ণ।

(b) একটি নির্দিষ্ট সামান্তরিক আঁকতে কমপক্ষে তিনটি তথ্য দরকার। যেমন - দুটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য ও তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণের মাপ অথবা দুটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য ও একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য।

(c) একটি নির্দিষ্ট বর্গক্ষেত্র আঁকতে কমপক্ষে একটি তথ্য দরকার, যেমন - একটি বাহুর দৈর্ঘ্য। কারণ বর্গক্ষেত্রের চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান এবং প্রতিটি কোণ সমকোণ ($90^\circ$)।

(d) হ্যাঁ, একটি রম্বস আঁকতে তার দুটি কর্ণের দৈর্ঘ্য জানা থাকলে রম্বসটিকে নির্দিষ্টভাবে আঁকা যাবে। কারণ রম্বসের কর্ণ দুটি পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

সমাধান :

(a) প্রথম ক্ষেত্রে, প্রদত্ত মানগুলি হলো AB = 5.2 cm, BC = 6 cm, CD = 4.4 cm, AD = 7 cm, এবং AC = 10 cm। আমরা জানি ত্রিভুজের যেকোনো দুটি বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্যের থেকে বড় হয়। এখানে, AC = 10 cm, AB + BC = 5.2 + 6 = 11.2 cm ($>10$ cm) এবং AC + CD = 10 + 4.4 = 14.4 cm ($>7$ cm), AD + CD = 7 + 4.4 = 11.4 cm ($>10$ cm), সুতরাং, ত্রিভুজ ABD এবং BCD অঙ্কন করা সম্ভব। অর্থাৎ চতুর্ভুজটি অঙ্কন করা সম্ভব।

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, যদি AC = 12 cm হয়, তাহলে $\triangle ABC$ -এর ক্ষেত্রে AB + BC = 5.2 + 6 = 11.2 cm ($<12$ cm) যা AC-এর থেকে ছোট। তাই, এই ক্ষেত্রে ত্রিভুজ ABC আঁকা সম্ভব নয়। সুতরাং, চতুর্ভুজটি আঁকা সম্ভব নয়।

সমাধান :

প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী, JU = 5.2 cm, UM = 4.8 cm, JM = 7 cm। আমরা জানি, সামন্তরিকের বিপরীত বাহুগুলির দৈর্ঘ্য সমান হয়। সুতরাং, JU = PM = 5.2 cm এবং UM = JP = 4.8 cm। এবং একটি কর্ণ JM = 7 cm। যেহেতু ত্রিভুজ JUM-এর তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য জানা আছে, তাই এটি আঁকা সম্ভব।

অঙ্কন পদ্ধতি:

1. প্রথমে JM = 7 cm একটি সরলরেখাংশ আঁকি।
2. J বিন্দুকে কেন্দ্র করে 5.2 cm ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি।
3. M বিন্দুকে কেন্দ্র করে 4.8 cm ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি যা আগের বৃত্তচাপকে U বিন্দুতে ছেদ করে।
4. J, U এবং M যোগ করি।
5. এবার J বিন্দুকে কেন্দ্র করে 4.8 cm ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি এবং M বিন্দুকে কেন্দ্র করে 5.2 cm ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি যা আগের বৃত্তচাপকে P বিন্দুতে ছেদ করে।
6. J, P এবং M, P যোগ করি। তাহলে JUMP সামন্তরিকটি তৈরি হবে।

সামন্তরিক JUMP এর অঙ্কিত চিত্র:

সমাধান :

প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী, রম্বসের একটি বাহু PQ = 5.4 cm এবং একটি কর্ণ PR = 8 cm। আমরা জানি রম্বসের চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান। সুতরাং PQ = QR = RS = SP = 5.4 cm। যেহেতু $\triangle PQR$-এর তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য জানা আছে, তাই এটি আঁকা সম্ভব।

অঙ্কন পদ্ধতি:

1. প্রথমে PR = 8 cm একটি সরলরেখাংশ আঁকি।
2. P বিন্দুকে কেন্দ্র করে 5.4 cm ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি।
3. R বিন্দুকে কেন্দ্র করে 5.4 cm ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি যা আগের বৃত্তচাপকে Q বিন্দুতে ছেদ করে।
4. P এবং R কে কেন্দ্র করে আবার 5.4 cm ব্যাসার্ধ নিয়ে দুটি বৃত্তচাপ আঁকি যা পরস্পরকে S বিন্দুতে ছেদ করে।
5. P, Q, R, S যোগ করি। তাহলে PQRS রম্বসটি তৈরি হবে।

রম্বস PQRS এর অঙ্কিত চিত্র:

সমাধান :

প্রদত্ত মানগুলি হলো: PQ = 7 cm, QR = 6.5 cm, RS = 5.2 cm, SP = 4.4 cm, এবং $\angle PQR = 60^\circ$। যেহেতু দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য ও তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ জানা আছে, তাই এই চতুর্ভুজটি অঙ্কন করা সম্ভব।

অঙ্কন পদ্ধতি:

1. প্রথমে PQ = 7 cm একটি সরলরেখাংশ আঁকি।
2. Q বিন্দুতে $60^\circ$ কোণ অঙ্কন করি।
3. Q বিন্দু থেকে $60^\circ$ কোণ বরাবর 6.5 cm লম্বা একটি সরলরেখাংশ আঁকি যা QR-কে নির্দেশ করে।
4. R বিন্দু থেকে 5.2 cm এবং P বিন্দু থেকে 4.4 cm ব্যাসার্ধ নিয়ে দুটি বৃত্তচাপ আঁকি যা পরস্পরকে S বিন্দুতে ছেদ করে।
5. R, S এবং S, P যোগ করি। তাহলে PQRS চতুর্ভুজটি তৈরি হবে।

চতুর্ভুজ PQRS এর অঙ্কিত চিত্র:

সমাধান :

না, শুধুমাত্র দুটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য জানা থাকলে নির্দিষ্টভাবে একটি সামন্তরিক আঁকা যাবে না। কারণ, সামান্তরিকের একটি কোণ বা একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য জানা থাকা প্রয়োজন। এই দুটি বাহু ব্যবহার করে একাধিক সামান্তরিক তৈরি করা সম্ভব। তাই, এই ক্ষেত্রে সামন্তরিক অঙ্কন করা সম্ভব নয়।

সমাধান :

প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী, বর্গক্ষেত্রের একটি বাহু DE = 5.2 cm। আমরা জানি বর্গক্ষেত্রের চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান এবং প্রতিটি কোণ সমকোণ ($90^\circ$)। তাই, এই তথ্য যথেষ্ট এবং বর্গক্ষেত্রটি অঙ্কন করা সম্ভব।

অঙ্কন পদ্ধতি:

1. প্রথমে DE = 5.2 cm একটি সরলরেখাংশ আঁকি।
2. D এবং E বিন্দুতে $90^\circ$ কোণ অঙ্কন করি।
3. D বিন্দু থেকে $90^\circ$ বরাবর 5.2 cm দৈর্ঘ্যের একটি সরলরেখাংশ DA আঁকি।
4. E বিন্দু থেকে $90^\circ$ বরাবর 5.2 cm দৈর্ঘ্যের একটি সরলরেখাংশ ER আঁকি।
5. A এবং R যোগ করি। তাহলে DEAR বর্গক্ষেত্রটি তৈরি হবে।

বর্গক্ষেত্র DEAR এর অঙ্কিত চিত্র:

সমাধান :

প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী, আয়তক্ষেত্রের দুটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য RE = 6 cm এবং EA = 5 cm। আমরা জানি আয়তক্ষেত্রের বিপরীত বাহুগুলি সমান এবং প্রতিটি কোণ $90^\circ$। তাই, এই তথ্য যথেষ্ট এবং আয়তক্ষেত্রটি অঙ্কন করা সম্ভব।

অঙ্কন পদ্ধতি:

1. প্রথমে RE = 6 cm একটি সরলরেখাংশ আঁকি।
2. R এবং E বিন্দুতে $90^\circ$ কোণ অঙ্কন করি।
3. E বিন্দু থেকে $90^\circ$ বরাবর 5 cm দৈর্ঘ্যের একটি সরলরেখাংশ EA আঁকি।
4. R বিন্দু থেকে 5 cm এবং A বিন্দু থেকে 6 cm ব্যাসার্ধ নিয়ে দুটি বৃত্তচাপ আঁকি যা পরস্পরকে D বিন্দুতে ছেদ করে।
5. R, D এবং D, A যোগ করি। তাহলে READ আয়তক্ষেত্রটি তৈরি হবে।

আয়তক্ষেত্র READ এর অঙ্কিত চিত্র:

সমাধান :

প্রদত্ত মানগুলি হলো: SA = 5.6 cm, AN = 4.5 cm, $\angle ASD = 45^\circ$, $\angle SAN = 75^\circ$, এবং $\angle AND = 110^\circ$। এই পাঁচটি তথ্য দিয়ে চতুর্ভুজটি অঙ্কন করা সম্ভব।

অঙ্কন পদ্ধতি:

1. প্রথমে SA = 5.6 cm একটি সরলরেখাংশ আঁকি।
2. S বিন্দুতে $45^\circ$ এবং A বিন্দুতে $75^\circ$ কোণ অঙ্কন করি।
3. A বিন্দু থেকে $75^\circ$ কোণ বরাবর 4.5 cm দৈর্ঘ্যের একটি সরলরেখাংশ AN আঁকি।
4. N বিন্দুতে $110^\circ$ কোণ অঙ্কন করি যা D বিন্দুতে S থেকে $45^\circ$ কোণের রেখাংশকে ছেদ করবে।
5. N, D এবং S, D যোগ করি। তাহলে SAND চতুর্ভুজটি তৈরি হবে।

চতুর্ভুজ SAND এর অঙ্কিত চিত্র:

সমাধান :

প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী, সামন্তরিকের দুটি সন্নিহিত বাহু LA = 6.6 cm এবং AN = 5.4 cm এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ $\angle LAN = 45^\circ$। এই তিনটি তথ্য যথেষ্ট, তাই সামন্তরিকটি অঙ্কন করা সম্ভব।

অঙ্কন পদ্ধতি:

1. প্রথমে LA = 6.6 cm একটি সরলরেখাংশ আঁকি।
2. A বিন্দুতে $45^\circ$ কোণ অঙ্কন করি।
3. A বিন্দু থেকে $45^\circ$ কোণ বরাবর 5.4 cm দৈর্ঘ্যের একটি সরলরেখাংশ AN আঁকি।
4. N বিন্দুকে কেন্দ্র করে 6.6 cm ব্যাসার্ধ নিয়ে এবং L বিন্দুকে কেন্দ্র করে 5.4 cm ব্যাসার্ধ নিয়ে দুটি বৃত্তচাপ আঁকি যা পরস্পরকে D বিন্দুতে ছেদ করে।
5. N, D এবং L, D যোগ করি। তাহলে LAND সামন্তরিকটি তৈরি হবে।

সামন্তরিক LAND এর অঙ্কিত চিত্র:

সমাধান :

প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী, রম্বসের একটি বাহু HO = 6 cm এবং একটি কোণ $\angle HOM = 60^\circ$। আমরা জানি রম্বসের চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান। সুতরাং HO = OM = ME = EH = 6 cm। এই তিনটি তথ্য যথেষ্ট, তাই রম্বসটি অঙ্কন করা সম্ভব।

অঙ্কন পদ্ধতি:

1. প্রথমে HO = 6 cm একটি সরলরেখাংশ আঁকি।
2. H বিন্দুতে $60^\circ$ কোণ অঙ্কন করি।
3. H বিন্দু থেকে $60^\circ$ বরাবর 6 cm দৈর্ঘ্যের একটি সরলরেখাংশ HE আঁকি।
4. O বিন্দুকে কেন্দ্র করে 6 cm ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি এবং E বিন্দুকে কেন্দ্র করে 6 cm ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি যা পরস্পরকে M বিন্দুতে ছেদ করে।
5. O, M এবং E, M যোগ করি। তাহলে HOME রম্বসটি তৈরি হবে।

রম্বস HOME এর অঙ্কিত চিত্র:

সমাধান :

প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী, আয়তক্ষেত্রের দুটি কর্ণ RA = 8 cm এবং OD = 6 cm। আমরা জানি আয়তক্ষেত্রের কর্ণ দুটি সমান এবং পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। কিন্তু এখানে দুটি ভিন্ন দৈর্ঘ্যের কর্ণ দেওয়া আছে। তাই একটি নির্দিষ্ট আয়তক্ষেত্র আঁকা সম্ভব নয়।

সমাধান :

প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী, বর্গক্ষেত্রের একটি বাহু TA = 6 cm। আমরা জানি বর্গক্ষেত্রের চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান এবং প্রতিটি কোণ $90^\circ$। তাই, এই তথ্য যথেষ্ট এবং বর্গক্ষেত্রটি অঙ্কন করা সম্ভব।

অঙ্কন পদ্ধতি:

1. প্রথমে TA = 6 cm একটি সরলরেখাংশ আঁকি।
2. T এবং A বিন্দুতে $90^\circ$ কোণ অঙ্কন করি।
3. T বিন্দু থেকে $90^\circ$ বরাবর 6 cm দৈর্ঘ্যের একটি সরলরেখাংশ TM আঁকি।
4. A বিন্দু থেকে $90^\circ$ বরাবর 6 cm দৈর্ঘ্যের একটি সরলরেখাংশ AR আঁকি।
5. M এবং R যোগ করি। তাহলে TRAM বর্গক্ষেত্রটি তৈরি হবে।

বর্গক্ষেত্র TRAM এর অঙ্কিত চিত্র:

সমাধান :

প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী, আয়তক্ষেত্রের একটি কর্ণ AC = 5 cm এবং একটি কোণ $\angle BAC = 30^\circ$। যেহেতু আয়তক্ষেত্রের প্রতিটি কোণ $90^\circ$, সুতরাং $\angle ABC = 90^\circ$। $\triangle ABC$-এর ক্ষেত্রে একটি বাহু AC = 5 cm এবং দুটি কোণ $\angle BAC = 30^\circ$ ও $\angle ABC = 90^\circ$ জানা আছে। তাই $\triangle ABC$ অঙ্কন করা সম্ভব। এরপর ABCD আয়তক্ষেত্রটি অঙ্কন করা সম্ভব।

অঙ্কন পদ্ধতি:

1. প্রথমে AC = 5 cm একটি সরলরেখাংশ আঁকি।
2. A বিন্দুতে $30^\circ$ কোণ এবং C বিন্দুতে $60^\circ$ কোণ অঙ্কন করি। এই কোণদ্বয়ের বাহু দুটি পরস্পরকে B বিন্দুতে ছেদ করবে।
3. B বিন্দুকে কেন্দ্র করে BC দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি এবং A বিন্দুকে কেন্দ্র করে AD দৈর্ঘ্যের (যা BC এর সমান) ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি যা C থেকে আসা রেখাকে D বিন্দুতে ছেদ করবে।
4. A, B, C, D যোগ করি। তাহলে ABCD আয়তক্ষেত্রটি তৈরি হবে।

আয়তক্ষেত্র ABCD এর অঙ্কিত চিত্র: