WBBSE Class 7 Mathematics Solutions - কষে দেখি 12.1

সমাধান :

$(a+b)$ কে $(a+b)$ দিয়ে গুণ করলে গুণফল হবে $(a+b) \times (a+b) = (a+b)^2$।

সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো (ii) $(a+b)^2$।

সমাধান :

$(x+7)^2 = x^2+2 \cdot x \cdot 7 + 7^2 = x^2+14x+49$

প্রশ্নানুসারে, $x^2+14x+k = x^2+14x+49$

অতএব, $k = 49$।

সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো (ii) $49$।

সমাধান :

আমরা জানি, $a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$ এবং $a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$। উভয়ই পূর্ণবর্গ সংখ্যামালা।

সুতরাং, $a^2+b^2$-এর সাথে $2ab$ অথবা $-2ab$ যোগ করলে এটি একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যামালা হবে।

সঠিক উত্তর হলো (iii) $2ab$ বা $-2ab$।

সমাধান :

$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$

প্রশ্নানুসারে, $a^2+6a+9 = a^2+2ab+b^2$

এখানে, $2ab = 6a \implies 2 \cdot a \cdot b = 6a \implies b = 3$

এবং $b^2 = 9 \implies b = 3$ বা $-3$।

যেহেতু $b$-এর ধনাত্মক মান চাওয়া হয়েছে, তাই $b=3$।

সঠিক উত্তর হলো (iii) $3$।

সমাধান :

পূর্ণবর্গ সংখ্যামালা পেতে হলে $x^2+\frac{1}{4}$ এর সাথে $2ab$ যোগ করতে হবে।

এখানে $a^2 = x^2 \implies a=x$ এবং $b^2=\frac{1}{4} \implies b=\frac{1}{2}$

সুতরাং, $2ab = 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} = x$

যোগফল হবে $(x+\frac{1}{2})^2 = x^2+x+\frac{1}{4}$।

প্রশ্নটিতে $x^2+\frac{1}{4}$ আছে, তাই $x$ যোগ করলে পূর্ণবর্গ হবে। কিন্তু বিকল্পগুলিতে $x$ নেই।

তবে, যদি প্রশ্নটি এমন হতো $x^2+\frac{1}{64}$ তাহলে $\frac{1}{8}$ যোগ করলে হবে। কিন্তু প্রশ্নে আছে $x^2+\frac{1}{4}$।

সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো (iv) কোনটিই নয়।

সমাধান :

$c^2+kc+\frac{1}{9}$ কে $(a+b)^2$ বা $(a-b)^2$ আকারের সাথে তুলনা করলে পাই,

$a^2=c^2 \implies a=c$

$b^2=\frac{1}{9} \implies b=\frac{1}{3}$

তাহলে, $kc$ হবে $\pm 2ab = \pm 2 \cdot c \cdot \frac{1}{3} = \pm \frac{2}{3}c$।

সুতরাং, $k$-এর মান হবে $\pm \frac{2}{3}$।

সমাধান :

(i) $9p^2+\frac{1}{9p^2} = (3p)^2 + (\frac{1}{3p})^2$

পূর্ণবর্গ হতে হলে, আমাদের $2ab$ বা $-2ab$ থাকতে হবে।

$2ab = 2 \cdot 3p \cdot \frac{1}{3p} = 2$

সুতরাং, $9p^2-2+\frac{1}{9p^2} = (3p-\frac{1}{3p})^2$ একটি পূর্ণবর্গ।

পূর্ণবর্গ সংখ্যামালা পেতে হলে, আমাদের $9p^2+\frac{1}{9p^2}$ থেকে $2$ যোগ বা বিয়োগ করতে হবে। কিন্তু প্রশ্নটিতে যোগ বা বিয়োগের কথা বলা হয়নি। পূর্ণবর্গ করতে হলে $2$ যোগ করতে হবে। যেহেতু প্রশ্নে বিয়োগের কথা বলা হয়েছে, তাই আমাদের এমনভাবে সাজাতে হবে যাতে কিছু বিয়োগ করলে তা পূর্ণবর্গ হয়।

$(9p^2+\frac{1}{9p^2}) - (-2) = (3p+\frac{1}{3p})^2$

সুতরাং, $-2$ বিয়োগ করলে পূর্ণবর্গ হবে।

(ii) $(x-y)^2 = 4-4y+y^2$

আমরা জানি, $4-4y+y^2 = 2^2-2 \cdot 2 \cdot y + y^2 = (2-y)^2$

সুতরাং, $(x-y)^2 = (2-y)^2$

উভয় দিক থেকে বর্গমূল নিলে, $x-y = \pm(2-y)$

যদি $x-y = 2-y$ হয়, তাহলে $x=2$।

যদি $x-y = -(2-y) = -2+y$ হয়, তাহলে $x = 2y-2$।

যেহেতু প্রশ্নে $x$ কে একটি ধ্রুবক হিসেবে ধরা হয়েছে, তাই $x$-এর মান হবে $2$।

সমাধান :

(i) এটি $a^2-2ab+b^2$ আকারের সূত্র, যেখানে $a=(2q-3z)$ এবং $b=(q-3z)$।

$(a-b)^2 = ((2q-3z)-(q-3z))^2 = (2q-3z-q+3z)^2 = (q)^2 = q^2$

(ii) এটি $a^2+2ab+b^2$ আকারের সূত্র, যেখানে $a=(3p+2q-4r)$ এবং $b=(4r-2p-q)$।

$(a+b)^2 = ((3p+2q-4r)+(4r-2p-q))^2 = (3p+2q-4r+4r-2p-q)^2 = (p+q)^2$

$ = p^2+2pq+q^2$

সমাধান :

(i) $16a^2-40ac+25c^2 = (4a)^2-2 \cdot 4a \cdot 5c + (5c)^2 = (4a-5c)^2$

(ii) $4p^2-2p+\frac{1}{4} = (2p)^2-2 \cdot 2p \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 = (2p-\frac{1}{2})^2$

(iii) $1+a^2+\frac{1}{a^2} = a^2+2 \cdot a \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} - 2 = (a+\frac{1}{a})^2-2$

বা, $1+a^2+\frac{1}{a^2} = (1-a^2+\frac{1}{a^2})+a^2$ এটি পূর্ণবর্গাকারে প্রকাশ করা যাবে না।

সঠিকভাবে, $a^2+2+\frac{1}{a^2}-1 = (a+\frac{1}{a})^2-1$ বা $a^2-2+\frac{1}{a^2}+3 = (a-\frac{1}{a})^2+3$। প্রশ্নটি ভুল হতে পারে।

সঠিক প্রশ্ন হলে $a^2+2+\frac{1}{a^2}$ হত, যার উত্তর $(a+\frac{1}{a})^2$।

(iv) $9a^2+24ab+16b^2 = (3a)^2+2 \cdot 3a \cdot 4b + (4b)^2 = (3a+4b)^2$

সমাধান :

(i) $64a^2+16a+1 = (8a)^2+2 \cdot 8a \cdot 1+1^2 = (8a+1)^2$

যখন $a=1$, মান হবে $(8 \cdot 1+1)^2 = (9)^2 = 81$

(ii) $25a^2-30ab+9b^2 = (5a)^2-2 \cdot 5a \cdot 3b+(3b)^2 = (5a-3b)^2$

যখন $a=3$ এবং $b=2$, মান হবে $(5 \cdot 3 - 3 \cdot 2)^2 = (15-6)^2 = 9^2 = 81$

(iii) $64-\frac{16}{p}+\frac{1}{p^2} = 8^2-2 \cdot 8 \cdot \frac{1}{p} + (\frac{1}{p})^2 = (8-\frac{1}{p})^2$

যখন $p=-1$, মান হবে $(8-\frac{1}{-1})^2 = (8+1)^2 = 9^2 = 81$

(iv) $p^2q^2+10pqr+25r^2 = (pq)^2+2 \cdot pq \cdot 5r+(5r)^2 = (pq+5r)^2$

যখন $p=2$, $q=-1$ এবং $r=3$, মান হবে $(2 \cdot (-1) + 5 \cdot 3)^2 = (-2+15)^2 = 13^2 = 169$

সমাধান :

(i) আমরা জানি, $(a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2)$। এখানে, $a=s$ এবং $b=t$।

$(s+t)^2+(s-t)^2 = (12)^2 + (8)^2 = 144+64 = 208$

(ii) আমরা জানি, $4xy = (x+y)^2 - (x-y)^2$ এবং $2(x^2+y^2) = (x+y)^2+(x-y)^2$।

$8xy(x^2+y^2) = (4xy) \cdot 2(x^2+y^2)$

$= ((x+y)^2-(x-y)^2) \cdot ((x+y)^2+(x-y)^2)$

$= (5^2-1^2) \cdot (5^2+1^2) = (25-1) \cdot (25+1) = 24 \cdot 26 = 624$

(iii) আমরা জানি, $2(a^2+b^2) = (a+b)^2+(a-b)^2$। এখানে, $a=x$ এবং $b=y$।

$2(x^2+y^2) = (x+y)^2+(x-y)^2 = 9^2+5^2 = 81+25 = 106$

$x^2+y^2 = \frac{106}{2} = 53$

(iv) $36$-কে দুটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করি।

আমরা জানি, $ab = (\frac{a+b}{2})^2 - (\frac{a-b}{2})^2$

$36 = 18 \times 2 = (\frac{18+2}{2})^2 - (\frac{18-2}{2})^2 = (\frac{20}{2})^2 - (\frac{16}{2})^2 = 10^2-8^2$

অন্যভাবে, $36 = 9 \times 4 = (\frac{9+4}{2})^2 - (\frac{9-4}{2})^2 = (\frac{13}{2})^2 - (\frac{5}{2})^2 = 6.5^2 - 2.5^2$

(v) $44$-কে দুটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করি।

$44 = 11 \times 4 = (\frac{11+4}{2})^2 - (\frac{11-4}{2})^2 = (\frac{15}{2})^2 - (\frac{7}{2})^2 = 7.5^2 - 3.5^2$

অন্যভাবে, $44 = 22 \times 2 = (\frac{22+2}{2})^2 - (\frac{22-2}{2})^2 = (\frac{24}{2})^2 - (\frac{20}{2})^2 = 12^2 - 10^2$

(vi) $8x^2+50y^2$ কে দুটি বর্গের সমষ্টিরূপে প্রকাশ করি।

$8x^2+50y^2 = 2(4x^2+25y^2) = 2((2x)^2+(5y)^2)$

আমরা জানি, $2(a^2+b^2) = (a+b)^2+(a-b)^2$

$2((2x)^2+(5y)^2) = (2x+5y)^2 + (2x-5y)^2$

সুতরাং, $8x^2+50y^2 = (2x+5y)^2 + (2x-5y)^2$

(vii) $x$-কে দুটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করি।

আমরা জানি, $ab = (\frac{a+b}{2})^2 - (\frac{a-b}{2})^2$

ধরি, $a=x$ এবং $b=1$। তাহলে, $x = (\frac{x+1}{2})^2 - (\frac{x-1}{2})^2$