Hisamuddin Sk
Updated: March 18, 2026পূর্ণবর্গ করার সহজ নিয়ম:
কোনো সংখ্যাকে পূর্ণবর্গ করতে হলে, সংখ্যাটিকে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে। এরপর যে উৎপাদকগুলি জোড়ায় নেই, তাদের গুণফল দিয়ে সংখ্যাটিকে গুণ বা ভাগ করলেই সেটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।
1
শূন্য ছাড়া কোন ক্ষুদ্রতম অখণ্ড সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে নিম্নলিখিত সংখ্যাগুলি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে দেখি।
(a) 845 (b) 450 (c) $18 \times 6$ (d) $25 \times 35$
(a) 845 (b) 450 (c) $18 \times 6$ (d) $25 \times 35$
সমাধান (ভাগ করার ক্ষেত্রে):
(a) 845
উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$845 = 5 \times 169$
$= \mathbf{\color{#FF5A5F}{5}} \times 13 \times 13$
$= \mathbf{\color{#FF5A5F}{5}} \times 13^2$
$= \mathbf{\color{#FF5A5F}{5}} \times 13 \times 13$
$= \mathbf{\color{#FF5A5F}{5}} \times 13^2$
এখানে উৎপাদক 5 জোড়ায় নেই।
$\therefore$ 5 দিয়ে ভাগ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে।
(b) 450
উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$450 = 2 \times 225$
$= \mathbf{\color{#FF5A5F}{2}} \times 3 \times 3 \times 5 \times 5$
$= \mathbf{\color{#FF5A5F}{2}} \times 3^2 \times 5^2$
$= \mathbf{\color{#FF5A5F}{2}} \times 3 \times 3 \times 5 \times 5$
$= \mathbf{\color{#FF5A5F}{2}} \times 3^2 \times 5^2$
এখানে উৎপাদক 2 জোড়ায় নেই।
$\therefore$ 2 দিয়ে ভাগ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে।
(c) $18 \times 6$
উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$18 \times 6 = (2 \times 3 \times 3) \times (2 \times 3)$
$= 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times \mathbf{\color{#FF5A5F}{3}}$
$= 2^2 \times 3^2 \times \mathbf{\color{#FF5A5F}{3}}$
$= 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times \mathbf{\color{#FF5A5F}{3}}$
$= 2^2 \times 3^2 \times \mathbf{\color{#FF5A5F}{3}}$
এখানে উৎপাদক 3 জোড়ায় নেই।
$\therefore$ 3 দিয়ে ভাগ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে।
(d) $25 \times 35$
উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$25 \times 35 = (5 \times 5) \times (5 \times 7)$
$= 5^2 \times \mathbf{\color{#FF5A5F}{5}} \times \mathbf{\color{#FF5A5F}{7}}$
$= 5^2 \times \mathbf{\color{#FF5A5F}{5}} \times \mathbf{\color{#FF5A5F}{7}}$
এখানে উৎপাদক 5 এবং 7 জোড়ায় নেই।
$\therefore$ $(5 \times 7)$ বা 35 দিয়ে ভাগ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে।
2
শূন্য ছাড়া কোন ক্ষুদ্রতম অখণ্ড সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে নিম্নলিখিত সংখ্যাগুলি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে দেখি।
(a) 432 (b) 588 (c) $25 \times 20$ (d) $24 \times 28$
(a) 432 (b) 588 (c) $25 \times 20$ (d) $24 \times 28$
সমাধান (গুণ করার ক্ষেত্রে):
(a) 432
উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$432 = 2 \times 216$
$= 2 \times 2 \times 108$
$= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3$
$= 2^2 \times 2^2 \times 3^2 \times \mathbf{\color{#FF5A5F}{3}}$
$= 2 \times 2 \times 108$
$= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3$
$= 2^2 \times 2^2 \times 3^2 \times \mathbf{\color{#FF5A5F}{3}}$
এখানে উৎপাদক 3 জোড়ায় নেই।
$\therefore$ 3 দিয়ে গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে।
(b) 588
উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$588 = 2 \times 294$
$= 2 \times 2 \times 147$
$= 2 \times 2 \times 3 \times 49$
$= 2^2 \times \mathbf{\color{#FF5A5F}{3}} \times 7^2$
$= 2 \times 2 \times 147$
$= 2 \times 2 \times 3 \times 49$
$= 2^2 \times \mathbf{\color{#FF5A5F}{3}} \times 7^2$
এখানে উৎপাদক 3 জোড়ায় নেই।
$\therefore$ 3 দিয়ে গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে।
(c) $25 \times 20$
উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$25 \times 20 = (5 \times 5) \times (2 \times 2 \times 5)$
$= 5^2 \times 2^2 \times \mathbf{\color{#FF5A5F}{5}}$
$= 5^2 \times 2^2 \times \mathbf{\color{#FF5A5F}{5}}$
এখানে উৎপাদক 5 জোড়ায় নেই।
$\therefore$ 5 দিয়ে গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে।
(d) $24 \times 28$
উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$24 \times 28 = (2 \times 2 \times 2 \times 3) \times (2 \times 2 \times 7)$
$= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 7$
$= 2^2 \times 2^2 \times \mathbf{\color{#FF5A5F}{2}} \times \mathbf{\color{#FF5A5F}{3}} \times \mathbf{\color{#FF5A5F}{7}}$
$= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 7$
$= 2^2 \times 2^2 \times \mathbf{\color{#FF5A5F}{2}} \times \mathbf{\color{#FF5A5F}{3}} \times \mathbf{\color{#FF5A5F}{7}}$
এখানে উৎপাদক 2, 3 এবং 7 জোড়ায় নেই।
$\therefore$ $(2 \times 3 \times 7)$ বা 42 দিয়ে গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে।
Frequently Asked Questions
প্রথমে সংখ্যাটিকে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে। এরপর দেখতে হবে কোন উৎপাদকগুলি জোড়ায় নেই (একা আছে)। যে উৎপাদকগুলি জোড়ায় থাকবে না, তাদের গুণফল দিয়ে সংখ্যাটিকে গুণ অথবা ভাগ করলেই সেটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।