Hisamuddin Sk
Updated: March 18, 2026মনে রাখার বিষয়:
অংকের মধ্যে যদি "যতগুলি... ততগুলি" বা "সমান সংখ্যক" কথাটি থাকে, তবে সাধারণত মোট সংখ্যাটির বর্গমূল (√) নির্ণয় করলেই উত্তর পাওয়া যায়।
1
নিসারের ফলের বাগান থেকে 441 টি কমলালেবু তোলা হয়েছে। অনেকগুলি ঝুড়িতে রাখা হবে। যতগুলি ঝুড়ি আছে প্রত্যেক ঝুড়িতে ততগুলি কমলালেবু রাখলে মোট কতগুলি ঝুড়িতে কমলালেবু রাখা হলো হিসাব করি।
সমাধান:
অংকে বলা হয়েছে "যতগুলি ঝুড়ি... ততগুলি কমলালেবু"। তাই মোট কমলালেবুর সংখ্যার বর্গমূল নির্ণয় করতে হবে।
প্রথমে 441-কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি:
441 = 3 × 3 × 7 × 7
∴ ঝুড়ির সংখ্যা = √441
= √(3 × 3 × 7 × 7)
= 3 × 7
= 21
= √(3 × 3 × 7 × 7)
= 3 × 7
= 21
উত্তর: মোট 21 টি ঝুড়িতে কমলালেবু রাখা হলো।
2
আজ সকালে আমি আমার ঘরের বইয়ের আলমারিতে বই সাজিয়ে রাখলাম। আলমারিতে যতগুলি তাক ছিল প্রতি তাকে ততগুলি বই রাখলাম। কিন্তু আরও 5 টি বই আলমারির বাইরে থাকল। বইয়ের সংখ্যা 86 টি হলে আলমারির তাকের সংখ্যা কতছিল হিসাব করি।
সমাধান:
মোট বইয়ের সংখ্যা = 86 টি।
আলমারির বাইরে থাকা বইয়ের সংখ্যা = 5 টি।
∴ আলমারিতে রাখা মোট বইয়ের সংখ্যা = (86 - 5) = 81 টি।
যেহেতু "যতগুলি তাক... ততগুলি বই", তাই 81-এর বর্গমূল করতে হবে:
81 = 9 × 9
∴ তাকের সংখ্যা = √81
= √(9 × 9)
= 9
= √(9 × 9)
= 9
উত্তর: আলমারির তাকের সংখ্যা ছিল 9 টি।
3
আজ খেলার মাঠে আমরা বর্গক্ষেত্রাকারে দাঁড়াব ঠিক করেছি। কিছুজন বর্গক্ষেত্রাকারে দাঁড়ানোর পরেও 4 জন বন্ধু মাঠের বাইরে দাঁড়িয়ে আছে। তারা এই বর্গক্ষেত্রাকারের মধ্যে দাঁড়ালে পর বর্গক্ষেত্রাকার থাকবে না। আজ আমাদের শ্রেণিতে উপস্থিত হয়েছে 40 জন। এই বর্গক্ষেত্রাকারের সজ্জার প্রতি সারিতে কতজন দাঁড়িয়েছি হিসাব করি।
সমাধান:
মোট উপস্থিত ছাত্রছাত্রী = 40 জন।
মাঠের বাইরে দাঁড়িয়ে আছে = 4 জন।
∴ বর্গক্ষেত্রাকারে দাঁড়ানো ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা = (40 - 4) = 36 জন।
বর্গক্ষেত্রাকার সজ্জায় প্রতি সারিতে দাঁড়ানো সংখ্যা বের করতে 36-এর বর্গমূল করতে হবে:
∴ প্রতি সারিতে ছাত্রসংখ্যা = √36
= √(6 × 6)
= 6
= √(6 × 6)
= 6
উত্তর: বর্গক্ষেত্রাকারের সজ্জার প্রতি সারিতে 6 জন দাঁড়িয়েছে।
4
পাড়ার সুকান্ত স্মৃতি গ্রন্থাগারের সদস্যদের প্রত্যেক সদস্য সদস্যসংখ্যার সমান সংখ্যক টাকা চাঁদা দেওয়ায় মোট 729 টাকা চাঁদা উঠেছে। গ্রন্থাগারের সদস্য কতজন হিসাব করি।
সমাধান:
অংকে বলা হয়েছে "সদস্যসংখ্যার সমান সংখ্যক টাকা"। তাই মোট চাঁদার পরিমাণের বর্গমূল নির্ণয় করতে হবে।
প্রথমে 729-কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি:
729 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
∴ সদস্য সংখ্যা = √729
= √(3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3)
= 3 × 3 × 3
= 27
= √(3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3)
= 3 × 3 × 3
= 27
উত্তর: গ্রন্থাগারের সদস্য সংখ্যা 27 জন।
5
রঘুনাথপুর গ্রামের একটি পুকুর সংস্কার করতে যতজন লোক কাজে লেগেছিলেন, তারা ততদিন কাজ করে মোট 12375 টাকা পারিশ্রমিক পেলেন। প্রত্যেকের দৈনিক পারিশ্রমিক যদি 55 টাকা হয়, তবে কতজন এই কাজে যোগ দিয়েছিলেন হিসাব করি।
সমাধান:
ধরি, লোকসংখ্যা = x জন।
যেহেতু "যতজন লোক... ততদিন কাজ", তাই দিনসংখ্যা = x দিন।
প্রত্যেকের দৈনিক পারিশ্রমিক = 55 টাকা।
∴ মোট পারিশ্রমিক = x × x × 55 = 55x2 টাকা।
শর্তানুসারে,
55x2 = 12375
বা, x2 = 12375 ÷ 55
বা, x2 = 225
বা, x = √225
বা, x = √(15 × 15)
বা, x = 15
উত্তর: মোট 15 জন এই কাজে যোগ দিয়েছিলেন।
6
এই বছরে আমাদের পাড়ার ক্লাব থেকে কিছু সদস্য গাদিয়াড়ায় বেড়াতে যাবে। খরচ হিসাবে প্রত্যেকের কাছ থেকে যতজন সদস্য তার 4 গুণ টাকা নেওয়া হয়েছে। মোট 4096 টাকা চাঁদা উঠেছে। কতজন সদস্য বেড়াতে যাবে হিসাব করি।
সমাধান:
ধরি, সদস্য সংখ্যা = x জন।
প্রত্যেকে চাঁদা দেয় সদস্য সংখ্যার 4 গুণ = 4x টাকা।
∴ মোট চাঁদা = x × 4x = 4x2 টাকা।
শর্তানুসারে,
4x2 = 4096
বা, x2 = 4096 ÷ 4
বা, x2 = 1024
বা, x = √1024
1024-কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই: 1024 = 32 × 32
বা, x = 32
উত্তর: মোট 32 জন সদস্য বেড়াতে যাবে।
7
আজ শিশু দিবস। আমরা কিছু ছাত্রছাত্রী স্কুলের জন্য সব ছাত্রছাত্রীদের লজেন্স ও বিস্কুট ভাগ করে দিলাম। কিন্তু 800 টি লজেন্স এখনও পড়ে আছে। আমরা মোট যতজন আছি প্রত্যেকে তার দ্বিগুণ সংখ্যক লজেন্স নিয়ে 800 টি লজেন্স ভাগ করে নিলাম। হিসাব করে দেখি আমরা মোট কতজন 800 টি লজেন্স ভাগ করে নিলাম।
সমাধান:
ধরি, ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা = x জন।
প্রত্যেকে লজেন্স নেয় তার দ্বিগুণ = 2x টি।
∴ মোট লজেন্সের সংখ্যা = x × 2x = 2x2 টি।
শর্তানুসারে,
2x2 = 800
বা, x2 = 800 ÷ 2
বা, x2 = 400
বা, x = √400
বা, x = √(20 × 20)
বা, x = 20
উত্তর: আমরা মোট 20 জন ছাত্রছাত্রী 800 টি লজেন্স ভাগ করে নিলাম।
8
আঁটলা গ্রামের সফিকুলচাচা তার জমিতে লাগাবার জন্য 780 টি পেঁপের চারা এনেছেন। ঠিক করেছেন যে যতগুলি সারিতে চারা লাগাবেন, প্রতি সারিতে ঠিক ততগুলি করে চারা থাকবে। কিন্তু এভাবে চারা লাগাতে গিয়ে তিনি দেখলেন যে 4 টি চারা কম পড়ছে। সফিকুলচাচা কতগুলি সারিতে চারা লাগাবেন ঠিক করেছেন হিসাব করি।
সমাধান:
এনেছেন = 780 টি চারা।
কম পড়ছে = 4 টি চারা।
∴ যতগুলি সারি ততগুলি চারা লাগাতে মোট চারা প্রয়োজন = (780 + 4) = 784 টি।
যেহেতু "যতগুলি সারি... ততগুলি চারা", তাই 784-এর বর্গমূল করতে হবে:
784 = 2 × 2 × 2 × 2 × 7 × 7
∴ সারির সংখ্যা = √784
= √(2 × 2 × 2 × 2 × 7 × 7)
= 2 × 2 × 7
= 28
= √(2 × 2 × 2 × 2 × 7 × 7)
= 2 × 2 × 7
= 28
উত্তর: সফিকুলচাচা 28 টি সারিতে চারা লাগাবেন ঠিক করেছেন।
9
আমি পিচবোর্ডের একটি বর্গাকার বাক্স তৈরি করেছি। তাতে অনেকগুলি বর্গাকার খোপ আছে অর্থাৎ খোপগুলিতে যতগুলি সারি আছে, প্রতি সারিতে ততগুলি খোপ আছে। আমার ভাই প্রতি খোপে 1 টি 5 টাকার মুদ্রা, 1 টি 2 টাকার মুদ্রা ও 1 টি 1 টাকার মুদ্রা রেখেছে। ভাই যদি মোট 1152 টাকা রেখে থাকে, তবে আমার তৈরি পিচবোর্ডের বাক্সের প্রতি সারিতে কতগুলি খোপ আছে হিসাব করি।
সমাধান:
ভাই প্রতি খোপে রেখেছে = 1টি 5 টাকা + 1টি 2 টাকা + 1টি 1 টাকা
∴ প্রতি খোপে মোট টাকা আছে = (5 + 2 + 1) = 8 টাকা।
ভাই মোট টাকা রেখেছে = 1152 টাকা।
∴ বাক্সে মোট খোপের সংখ্যা = 1152 ÷ 8 = 144 টি।
যেহেতু "যতগুলি সারি... ততগুলি খোপ", তাই 144-এর বর্গমূল করতে হবে:
∴ প্রতি সারিতে খোপের সংখ্যা = √144
= √(12 × 12)
= 12
= √(12 × 12)
= 12
উত্তর: পিচবোর্ডের বাক্সের প্রতি সারিতে 12 টি খোপ আছে।
10
মনে মনে হিসাব করি -
সমাধান:
(i)
7 -এর বর্গ = 49
(ii)
121 -এর বর্গমূল = 11
(iii)
92 = 81
(iv)
√100 = 10
(v)
√49 = 7
(vi)
√144 = 12
(vii)
√(32 × 22)
= 3 × 2 = 6
(viii)
√(5 × 7 × 5 × 7)
= 5 × 7 = 35
(ix)
√(13 × 13)
= 13
11
উৎপাদকের সাহায্যে বর্গমূল নির্ণয় করি -
(i) 169 (ii) 225 (iii) 42 + 32 (iv) 144 (v) 576 (vi) 152 + 202 (vii) 900
(i) 169 (ii) 225 (iii) 42 + 32 (iv) 144 (v) 576 (vi) 152 + 202 (vii) 900
সমাধান:
(i) 169
উৎপাদকে বিশ্লেষণ: 169 = 13 × 13
∴ √169 = √(13 × 13)
= 13
(ii) 225
উৎপাদকে বিশ্লেষণ: 225 = 3 × 3 × 5 × 5
∴ √225 = √(3 × 3 × 5 × 5)
= 3 × 5
= 15
(iii) 42 + 32
মান নির্ণয়: = 16 + 9 = 25
∴ √25 = √(5 × 5)
= 5
(iv) 144
উৎপাদকে বিশ্লেষণ: 144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3
∴ √144 = √(2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3)
= 2 × 2 × 3
= 12
(v) 576
উৎপাদকে বিশ্লেষণ: 576 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3
∴ √576 = √(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3)
= 2 × 2 × 2 × 3
= 24
(vi) 152 + 202
মান নির্ণয়: = 225 + 400 = 625
∴ √625 = √(5 × 5 × 5 × 5)
= 5 × 5
= 25
(vii) 900
উৎপাদকে বিশ্লেষণ: 900 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5
∴ √900 = √(2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5)
= 2 × 3 × 5
= 30
Frequently Asked Questions
কোনো সংখ্যাকে সেই সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যায়, তাকে ওই সংখ্যার 'বর্গ' বলে। এবং যে সংখ্যাটিকে গুণ করা হয়েছিল, তাকে গুণফলের 'বর্গমূল' বলে। যেমন: 5 × 5 = 25। এখানে 25 হলো 5 এর বর্গ, এবং 5 হলো 25 এর বর্গমূল (√25 = 5)।
অংকে যদি 'যতগুলি... ততগুলি' বা 'সমান সংখ্যক' কথাটি থাকে, তবে সাধারণত মোট সংখ্যাটির উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে তার বর্গমূল নির্ণয় করলেই উত্তর পাওয়া যায়।